Examkin

Question

Difficulty: HardSabit ve Eşit Diziler

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için

an=cos⁡2(nπ2)+a⋅sin⁡2(nπ4)+b⋅(−1)na_n = \cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right) + a \cdot \sin^2\left(\frac{n\pi}{4}\right) + b \cdot (-1)^n
bn=c⋅n+62n−db_n = \frac{c \cdot n + 6}{2n - d}

genel terimleriyle tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit iki dizi olduğuna göre, a+b+c+da + b + c + d toplamının değeri kaçtır?

  1. −232-\frac{23}{2}Answer
  2. B
    −92-\frac{9}{2}
  3. C
    -2
  4. D
    252\frac{25}{2}
  5. E
    −152-\frac{15}{2}

Answer

−232-\frac{23}{2}
Seçenekler arasında yer alan −232-\frac{23}{2} değeri doğrudur. Çünkü (an)(a_n) dizisinin her n≥1n \ge 1 için sabit kalmasını sağlayan yegane değerler a=0a = 0 ve b=−1/2b = -1/2'dir. Bu durumda dizi an=1/2a_n = 1/2 sabit dizisine dönüşür. (bn)(b_n) dizisinin bu diziye eşit olabilmesi için her n≥1n \ge 1 için bn=1/2b_n = 1/2 olmalıdır. Bu koşuldan c=1c = 1 ve d=−12d = -12 bulunur. Parametrelerin toplamı da −232-\frac{23}{2} değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
(an)(a_n) dizisinin terimlerini nn değerlerine göre analiz edelim.
n=1n=1 için: a1=cos⁡2(π/2)+asin⁡2(π/4)−b=a2−ba_1 = \cos^2(\pi/2) + a \sin^2(\pi/4) - b = \frac{a}{2} - b
n=2n=2 için: a2=cos⁡2(π)+asin⁡2(π/2)+b=1+a+ba_2 = \cos^2(\pi) + a \sin^2(\pi/2) + b = 1 + a + b
n=3n=3 için: a3=cos⁡2(3π/2)+asin⁡2(3π/4)−b=a2−ba_3 = \cos^2(3\pi/2) + a \sin^2(3\pi/4) - b = \frac{a}{2} - b
n=4n=4 için: a4=cos⁡2(2π)+asin⁡2(π)+b=1+ba_4 = \cos^2(2\pi) + a \sin^2(\pi) + b = 1 + b
Dizinin sabit dizi olabilmesi için tüm terimlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bu nedenle ilk birkaç terimi hesaplayarak parametreler arasındaki ilişkileri bulmalıyız.
2
Elde edilen terimlerin eşitliğini kullanarak aa ve bb değerlerini çözelim.
a2=a4  ⟹  1+a+b=1+b  ⟹  a=0a_2 = a_4 \implies 1 + a + b = 1 + b \implies a = 0
a1=a4  ⟹  a2−b=1+b  ⟹  0−b=1+b  ⟹  2b=−1  ⟹  b=−12a_1 = a_4 \implies \frac{a}{2} - b = 1 + b \implies 0 - b = 1 + b \implies 2b = -1 \implies b = -\frac{1}{2}
Sabit dizi tanımı gereği a1=a2=a3=a4a_1 = a_2 = a_3 = a_4 olmalıdır. Bu denklemler çözüldüğünde tek bir (a,b)(a, b) ikilisi elde edilir.
3
(an)(a_n) dizisinin sabit değerini belirleyelim.
an=12a_n = \frac{1}{2} (her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için)
Bulunan a=0a=0 ve b=−1/2b=-1/2 değerleri yerine yazıldığında, dizinin tüm terimlerinin 1/21/2 olduğu g��rülür.
4
(bn)(b_n) dizisinin de sabit değeri 1/21/2 olan bir dizi olması gerektiğini kullanarak cc ve dd değerlerini hesaplayalım.
bn=c⋅n+62n−d=12  ⟹  2cn+12=2n−d  ⟹  c=1b_n = \frac{c \cdot n + 6}{2n - d} = \frac{1}{2} \implies 2cn + 12 = 2n - d \implies c = 1 ve d=−12d = -12
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizilerinin eşit olabilmesi için bnb_n dizisinin de her n≥1n \ge 1 için 1/21/2 değerine eşit olması gerekir. Buradan katsayılar eşitlenir.
5
Bulunan tüm parametrelerin toplamını hesaplayalım.
a+b+c+d=0+(−12)+1+(−12)=−232a + b + c + d = 0 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 + (-12) = -\frac{23}{2}
Soru kökünde istenen a+b+c+da+b+c+d toplamını bulmak için elde edilen değerleri toplarız.

Key Concept

Sabit dizilerde tüm terimler birbirine eşittir ve eşit dizilerin her n≥1n \ge 1 indisi için genel terimleri aynı sonucu vermelidir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sabit ve Eşit Diziler

More questions from this topic