Examkin

Question

Difficulty: Very hardAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir aritmetik dizide baştan nn terimin toplamı SnS_n sembolüyle gösterilmektedir.

Bu dizide,
S12=−28S_{12} = -28
S28=−12S_{28} = -12

olduğuna göre, bu aritmetik dizinin baştan 4040 teriminin toplamı kaçtır?

Answer: 40

Answer

Bu aritmetik dizinin baştan 40 teriminin toplamı 40'tır.
Verilen toplam formülleri açılıp sadeleştirildiğinde 2a1+11d=−1432a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve 2a1+27d=−672a_1 + 27d = -\frac{6}{7} denklemleri elde edilir. Bu sistemden ortak fark d=521d = \frac{5}{21} bulunur. İstenen S40=20(2a1+39d)S_{40} = 20(2a_1 + 39d) ifadesinde 2a1+39d2a_1 + 39d yerine (2a1+11d)+28d(2a_1 + 11d) + 28d yazılarak değerler yerine konduğunda parantez içi 2, toplam ise 40 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Baştan nn terim toplam formülünü kullanarak S12S_{12} ve S28S_{28} ifadelerini açalım.
S12=6(2a1+11d)=−28  ⟹  2a1+11d=−143S_{12} = 6(2a_1 + 11d) = -28 \implies 2a_1 + 11d = -\frac{14}{3} ve S28=14(2a1+27d)=−12  ⟹  2a1+27d=−67S_{28} = 14(2a_1 + 27d) = -12 \implies 2a_1 + 27d = -\frac{6}{7}
Verilen terim toplamları ile ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (dd) arasında ilişki kurmak.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa çıkararak dd değerini bulalım.
(2a1+27d)−(2a1+11d)=−67−(−143)  ⟹  16d=8021  ⟹  d=521(2a_1 + 27d) - (2a_1 + 11d) = -\frac{6}{7} - \left(-\frac{14}{3}\right) \implies 16d = \frac{80}{21} \implies d = \frac{5}{21}
Dizinin ortak farkını elde etmek.
3
Bulduğumuz ortak farkı kullanarak S40S_{40} formülünde yer alan 2a1+39d2a_1 + 39d ifadesinin değerini hesaplayalım.
2a1+39d=(2a1+11d)+28d=−143+28(521)=−143+203=22a_1 + 39d = (2a_1 + 11d) + 28d = -\frac{14}{3} + 28 \left(\frac{5}{21}\right) = -\frac{14}{3} + \frac{20}{3} = 2
a1a_1 terimini tek başına bulmaya gerek kalmadan işlemi sadeleştirmek.
4
Bulduğumuz 2a1+39d=22a_1 + 39d = 2 değerini S40S_{40} formülünde yerine koyarak sonucu hesaplayalım.
S40=20(2a1+39d)=20×2=40S_{40} = 20(2a_1 + 39d) = 20 \times 2 = 40
Bizden istenen baştan 40 terimin toplamını bulmak.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve doğrusal denklem sistemlerinin çözümü.

Alternative Method

Aritmetik dizilerde Sk=−mS_k = -m ve Sm=−kS_m = -k (k≠mk \neq m) ise baştan k+mk+m terim toplamının Sk+m=k+mS_{k+m} = k+m olduğu genel formülünden faydalanılabilir. Bu soruda k=12k=12 ve m=28m=28 olduğundan S40=12+28=40S_{40} = 12+28 = 40 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic