Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2mx+3f(x) = x^2 - 2mx + 3
g(x)=x2−2nx+19g(x) = x^2 - 2nx + 19
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 noktalarıdır.

Bu iki parabol A(2,11)A(2, 11) noktasında kesiştiğine göre, T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

  1. 22Answer
  2. B
    −2-2
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    −10-10
  5. E
    −8-8

Answer

Tepe noktalarından geçen doğrunun eğimi 22 dir.
Doğru cevabın elde edilmesi için öncelikle her iki parabolün kesişim noktası olan (2,11)(2, 11) koordinatları denklemlerde yerine yazılarak bilinmeyen parametreler m=−1m = -1 ve n=3n = 3 olarak bulunur. Ardından elde edilen f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 ve g(x)=x2−6x+19g(x) = x^2 - 6x + 19 parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1(−1,2)T_1(-1, 2) ve T2(3,10)T_2(3, 10) olarak hesaplanır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi ise ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla 10−23−(−1)=2\frac{10-2}{3-(-1)} = 2 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
A(2,11)A(2, 11) noktası f(x)=x2−2mx+3f(x) = x^2 - 2mx + 3 parabolü üzerinde olduğundan, bu noktanın koordinatları parabolün denklemini sağlar. x=2x = 2 yazılarak denklem 1111'e eşitlenir ve mm değeri bulunur.
22−2m(2)+3=11  ⟹  7−4m=11  ⟹  4m=−4  ⟹  m=−12^2 - 2m(2) + 3 = 11 \implies 7 - 4m = 11 \implies 4m = -4 \implies m = -1
mm parametresini bularak f(x)f(x) parabolünün denklemini tam olarak elde etmek.
2
A(2,11)A(2, 11) noktası g(x)=x2−2nx+19g(x) = x^2 - 2nx + 19 parabolü üzerinde olduğundan, x=2x = 2 yazılarak denklem 1111'e eşitlenir ve nn değeri bulunur.
22−2n(2)+19=11  ⟹  23−4n=11  ⟹  4n=12  ⟹  n=32^2 - 2n(2) + 19 = 11 \implies 23 - 4n = 11 \implies 4n = 12 \implies n = 3
nn parametresini bularak g(x)g(x) parabolünün denklemini tam olarak elde etmek.
3
f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 parabolünün tepe noktası T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatları r1=−b2ar_1 = -\frac{b}{2a} ve k1=f(r1)k_1 = f(r_1) formülleriyle hesaplanır.
r1=−22=−1r_1 = -\frac{2}{2} = -1 ve k1=f(−1)=(−1)2+2(−1)+3=2k_1 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 2, yani T1(−1,2)T_1(-1, 2)
İlk parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemek.
4
g(x)=x2−6x+19g(x) = x^2 - 6x + 19 parabolünün tepe noktası T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatları r2=−b2ar_2 = -\frac{b}{2a} ve k2=g(r2)k_2 = g(r_2) formülleriyle hesaplanır.
r2=−−62=3r_2 = -\frac{-6}{2} = 3 ve k2=g(3)=32−6(3)+19=10k_2 = g(3) = 3^2 - 6(3) + 19 = 10, yani T2(3,10)T_2(3, 10)
İkinci parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemek.
5
T1(−1,2)T_1(-1, 2) ve T2(3,10)T_2(3, 10) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} formülüyle hesaplanır.
m=10−23−(−1)=84=2m = \frac{10 - 2}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2
İki tepe noktasından geçen doğrunun eğimini bulmak.

Key Concept

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması ve iki noktadan geçen doğrunun eğiminin hesaplanması.

Alternative Method

İki parabolün başkatsayıları eşit olduğundan (a=1a=1), tepe noktalarının koordinatları arasındaki farklar doğrudan x-eksenindeki öteleme miktarı ve parabollerin sabit terimleri arasındaki ilişki kullanılarak da türetilebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic