Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonunun grafiğine x =… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun grafiğine

x = 2

noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi

y = 3x - 5

olarak verilmiştir.

Buna göre,

g(x) = \frac{f(x^2 + 1)}{2x + 1}

biçiminde tanımlanan

g

fonksiyonunun

x = 1

noktasındaki türevi olan

g'(1)

değeri kaçtır?

Doğru cevap

\frac{16}{9}

değeridir.

Doğru cevap, bölüm kuralı ve zincir kuralı tam ve doğru olarak uygulandığında elde edilen

\frac{16}{9}

değeridir. Teğet doğrusunun denkleminden elde edilen

f(2) = 1

f'(2) = 3

değerleri formülde yerlerine yazıldığında bu sonuca ulaşılır.

Teğet doğrusunun denkleminden fonksiyonun de��erini ve türevini elde etme

f(2) = 1

f'(2) = 3

x = 2

noktasındaki teğet doğrusu

y = 3x - 5

olduğundan, bu noktanın ordinatı

f(2) = 3(2) - 5 = 1

ve teğet doğrusunun eğimi fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan

f'(2) = 3

olur.

Bölüm ve zincir kurallarını uygulayarak

g'(x)

ifadesini oluşturma

g'(x) = \frac{f'(x^2 + 1) \cdot 2x \cdot (2x + 1) - f(x^2 + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}

Bölüm kuralı uygulandıktan sonra pay kısmındaki

f(x^2+1)

ifadesinin türevi için zincir kuralı (

f'(x^2+1) \cdot 2x

) kullanılmıştır.

x = 1

değerini yerine yazarak sonucu hesaplama

g'(1) = \frac{16}{9}

g'(1) = \frac{f'(2) \cdot 2(1) \cdot (2(1) + 1) - f(2) \cdot 2}{(2(1) + 1)^2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{9} = \frac{18 - 2}{9} = \frac{16}{9}

bulunur.

Bölüm kuralı, zincir kuralı ve teğet doğrusu denklemi aracılığıyla türev değeri bulma

Estimated Time:2m 30s

Question