Examkin

Question

Difficulty: MediumLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için aa bir gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→a[f(x)+g(x)]=L1\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L_1
lim⁡x→a[f(x)⋅g(x)]=L2\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L_2
limitleri birer gerçel sayıya eşittir.

Buna göre,
I. lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) limiti bir gerçel sayıya eşittir.
II. lim⁡x→a[f2(x)+g2(x)]\lim_{x \to a} [f^2(x) + g^2(x)] limiti bir gerçel sayıya eşittir.
III. L12≥4L2L_1^2 \geq 4L_2 dir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

İkinci ve üçüncü öncüllerin yer aldığı seçenek doğrudur.
Toplam ve çarpım limitleri bilindiğinde, limit özellikleri kullanılarak kareler toplamı olan ifadenin limiti doğrudan hesaplanabilir. Ayrıca reel sayıların karesel özellikleri limit koruma teoremiyle birleştiğinde üçüncü öncüldeki eşitsizlik her zaman sağlanır. Ancak bireysel fonksiyonların limitlerinin bulunması zorunlu değildir.

Step-by-Step Solution

1
f2(x)+g2(x)f^2(x) + g^2(x) ifadesini limitleri bilinen toplam ve çarpım fonksiyonları cinsinden düzenleyin.
f2(x)+g2(x)=(f(x)+g(x))2−2f(x)g(x)f^2(x) + g^2(x) = (f(x) + g(x))^2 - 2f(x)g(x) özdeşliği elde edilir. Limit özellikleri gereği, bu ifadenin limiti L12−2L2L_1^2 - 2L_2 olarak hesaplanır ve bu da bir gerçel sayıdır.
Limit toplama, çıkarma, çarpma ve kuvvet özelliklerini uygulayabilmek için ifadeyi limit değerleri bilinen ifadelere dönüştürmek gerekir.
2
Gerçel sayılarda her zaman geçerli olan (f(x)−g(x))2≥0(f(x) - g(x))^2 \geq 0 eşitsizliğini kullanarak limitlerin sınırlarını belirleyin.
(f(x)+g(x))2−4f(x)g(x)≥0(f(x)+g(x))^2 - 4f(x)g(x) \geq 0 eşitsizliğine ulaşılır. Her iki tarafın limiti alındığında L12−4L2≥0L_1^2 - 4L_2 \geq 0 yani L12≥4L2L_1^2 \geq 4L_2 elde edilir.
Limitin eşitsizlikleri koruma özelliğini kullanarak limit değerleri arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.
3
Bireysel limitlerin varlığını sorgulamak için sağ ve sol limitleri farklı olan ancak toplam ve çarpımları limitli olan bir karşıt örnek kurgulayın.
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının x→ax \to a limitleri mevcut olmasa bile toplam ve çarpımlarının limitlerinin mevcut olabileceği gösterilir.
Birinci öncülün her zaman doğru olmadığını ispatlamak için limit varlık koşulu olan sağ ve sol limit eşitliğini kullanan bir örnek gerekir.

Key Concept

Limit özellikleri, limitin aritmetik işlemleri ve limit koruma teoremi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

More questions from this topic