Dik koordinat d��zleminde, f(x) = x^3 - 2x^2 + 3 eğrisine üzerindeki x = 1 apsisli noktası… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat d��zleminde, $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ eğrisine üzerindeki $x = 1$ apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, bu eğriyi $x = 1$ dışındaki iki farklı noktada daha kesmektedir. Buna göre, bu kesim noktalarının apsislerinin çarpımı kaçtır?

Answer: -2

Answer

Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktaların apsisleri çarpımı -2'dir.

Eğrinin x = 1 noktasındaki normal doğrusunun denklemi y = x + 1 olarak bulunur. Bu doğru ile eğrinin ortak çözümü yapıldığında kesim noktalarının apsisleri 1, -1 ve 2 olarak elde edilir. x = 1 dışındaki noktaların apsisleri çarpımı (-1) * 2 = -2 olur.

Step-by-Step Solution

Teğet noktasının ordinatını hesaplama

P(1, 2)

Teğet noktasının eğri üzerinde olduğunu bildiğimiz için x = 1 değerini fonksiyonda yerine yazarız.

Fonksiyonun türevini alma

f'(x) = 3x^2 - 4x

Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla türev fonksiyonuna ihtiyaç duyarız.

x = 1 noktasındaki teğet eğimini bulma

m_t = -1

x = 1 noktasındaki türev değeri teğet doğrusunun eğimini verir.

Normal doğrusunun eğimini bulma

m_n = 1

Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.

Normal doğrusunun denklemini yazma

y = x + 1

Eğimi 1 olan ve P(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini oluştururuz.

Normal doğrusu ile eğrinin kesim noktalarını belirleme

x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0

Doğru ve eğrinin ortak noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.

Denklemin köklerini bulma

x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 2

Elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kesim noktalarının apsislerini elde ederiz.

Diğer noktaların apsisleri çarpımını hesaplama

-2

x = 1 noktası dışındaki kesim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 değerlerini çarparız.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerinin negatif tersidir. Normal doğrusunun eğri ile ortak çözümü yapılarak kesim noktaları bulunur.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic