Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−3)2(x+1)x−5≤0\frac{(x - 3)^2(x + 1)}{x - 5} \le 0
x2−7x+6≤0x^2 - 7x + 6 \le 0
eşitsizliklerinin her ikisini de sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 10

Answer

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 10'dur.
Sistemi oluşturan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,5)[-1, 5) ve ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi [1,6][1, 6] aralıklarıdır. Bu iki aralığın kesişimi [1,5)[1, 5) olup, bu aralıktaki tam sayıların (1,2,3,41, 2, 3, 4) toplamı 10 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulma.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,5)[-1, 5) aralığıdır.
Payın köklerinden x=3x = 3 çift katlı köktür ve paydanın kökü olan x=5x = 5 tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulma.
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi [1,6][1, 6] aralığıdır.
x2−7x+6≤0x^2 - 7x + 6 \le 0 ifadesi (x−6)(x−1)≤0(x - 6)(x - 1) \le 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır ve kökler yardımıyla çözüm aralığı elde edilir.
3
Çözüm kümelerinin kesişimini alma.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi [1,5)[1, 5) aralığıdır.
Sistemin her iki eşitsizliği de sağlaması için iki çözüm kümesinin kesişimi ([−1,5)∩[1,6][-1, 5) \cap [1, 6]) alınmalıdır.
4
Ortak aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplama.
Tam sayıların toplamı 10'dur.
[1,5)[1, 5) aralığındaki tam sayılar 1,2,3,41, 2, 3, 4 olup, bu sayıların toplamı 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10 olur.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin ortak çözüm kümesini bulma, çift katlı kök ve payda köklerinin analizi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri