Analitik düzlemde, köşeleri A(0, 3), B(0, 0) ve C(4, 0) noktaları olan ABC üçgensel bölges… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Analitik düzlemde, köşeleri $A(0, 3)$ , $B(0, 0)$ ve $C(4, 0)$ noktaları olan $ABC$ üçgensel bölgesinin sınırları üzerinde veya iç bölgesinde bulunan ve koordinatları tam sayı olan noktalardan rastgele iki farklı nokta seçiliyor.

Buna göre, seçilen bu iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla $2$ birim olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{29}{110}$
B
$\frac{4}{11}$
C
$\frac{23}{45}$
D
$\frac{1}{2}$
$\frac{29}{55}$ Answer

Answer

Seçilen iki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 2 birim olma olasılığı 29/55'tir.

Üçgensel bölgedeki 11 tam sayı koordinatlı noktadan seçilen 55 farklı ikiliden, aralarındaki mesafe 1, karekök 2 veya 2 birim olan 29 çift bulunmaktadır. Bu nedenle aranan olasılık 29/55'tir.

Step-by-Step Solution

Üçgensel bölgedeki tam sayı koordinatlı noktaların belirlenmesi

x \ge 0

y \ge 0

3x + 4y \le 12

koşullarını sağlayan tam sayı ikilileri belirlenir:

(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (3,0), (4,0)

olmak üzere toplam 11 nokta vardır.

Olasılık hesabının yapılacağı örnek uzayı oluşturacak elemanların doğru tespit edilmesi gerekir.

Toplam olası durum sayısının hesaplanması

11 noktadan rastgele 2 farklı noktanın seçilme sayısı kombinasyon ile bulunur:

s(E) = \binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55

Seçim işleminde sıranın önemi olmadığından kombinasyon hesabı kullanılır.

İstenen durumların (uzaklığı en fazla 2 birim olan noktaların) sayılması

İki nokta arasındaki uzaklığın en fazla 2 birim olması için aralarındaki yatay mesafe

dx

ve dikey mesafe

dy

olmak üzere

dx^2 + dy^2 \le 4

olmalıdır. Bu durumları mesafelerine göre sınıflandırabiliriz:
- Uzaklığı 1 birim olanlar (yatay veya dikey komşu): 7 yatay + 6 dikey = 13 çift.
- Uzaklığı

\sqrt{2}

birim olanlar (çapraz komşu): 9 çift.
- Uzaklığı 2 birim olanlar (yatay veya dikeyde 2 birim uzaklıkta): 4 yatay + 3 dikey = 7 çift.
Toplam elverişli durum sayısı:

13 + 9 + 7 = 29

çift.

Koşulu sağlayan durumların sayısı gruplandırılarak eksiksiz ve hatasız biçimde sayılır.

Olasılık değerinin bulunması

Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{29}{55}

Olasılık tanımı gereği elverişli durumların sayısı tüm durumların sayısına bölünür.

Key Concept

Örnek uzay elemanlarının kombinasyon ile bulunması ve basit olayların olasılığı formülünün uygulanması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic