Examkin

Question

Difficulty: HardTers Trigonometrik Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesinin bir AA alt kümesinde tanımlı

f(x)=arccos⁡(x−12)−π3f(x) = \sqrt{\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) - \frac{\pi}{3}}

fonksiyonu veriliyor. Buna göre, bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi olan AA aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [−1,2][-1, 2]Answer
  2. B
    [2,3][2, 3]
  3. C
    [1,2][1, 2]
  4. D
    [−1,3][-1, 3]
  5. E
    [2,∞)[2, \infty)

Answer

[−1,2][-1, 2] kapalı aralığı
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için ilk olarak arccos fonksiyonunun içinin [−1,1][-1, 1] aralığında kalması gerekir, bu da bize x∈[−1,3]x \in [-1, 3] koşulunu verir. İkinci olarak karekökün içinin negatif olmaması gerekliliğinden arccos⁡(x−12)≥π3\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \ge \frac{\pi}{3} elde edilir. arccos fonksiyonunun değer aralığı [0,π][0, \pi] olduğundan bu ifade π3≤arccos⁡(x−12)≤π\frac{\pi}{3} \le \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \le \pi biçiminde yazılır. Kosinüs fonksiyonu bu aralıkta azalan olduğundan, eşitsizlik yön değiştirerek cos⁡(π)≤x−12≤cos⁡(π/3)\cos(\pi) \le \frac{x-1}{2} \le \cos(\pi/3) haline gelir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x∈[−1,2]x \in [-1, 2] elde edilir. Her iki koşulun kesişimi ise [−1,2][-1, 2] aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1
arccos fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek
−1≤x−12≤1  ⟹  −2≤x−1≤2  ⟹  −1≤x≤3-1 \le \frac{x-1}{2} \le 1 \implies -2 \le x-1 \le 2 \implies -1 \le x \le 3
arccos(u) ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için u ifadesinin [−1,1][-1, 1] aralığında olması gerekir.
2
Karekökün tanımlılık şartını uygulamak
arccos⁡(x−12)−π3≥0  ⟹  arccos⁡(x−12)≥π3\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) - \frac{\pi}{3} \ge 0 \implies \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \ge \frac{\pi}{3}
Gerçel sayılarda çift dereceli köklü bir ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
Eşitsizliği arccos fonksiyonunun değer aralığına göre düzenlemek
π3≤arccos⁡(x−12)≤π\frac{\pi}{3} \le \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \le \pi
arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığıd��r.
4
Kosinüs fonksiyonunun azalanlık özelliğini kullanarak x değerlerini bulmak
cos⁡(π)≤x−12≤υcos⁡(π/3)  ⟹  −1≤x−12≤12  ⟹  −2≤x−1≤1  ⟹  −1≤x≤2\cos(\pi) \le \frac{x-1}{2} \le υ\cos(\pi/3) \implies -1 \le \frac{x-1}{2} \le \frac{1}{2} \implies -2 \le x-1 \le 1 \implies -1 \le x \le 2
Kosinüs fonksiyonu [0,π][0, \pi] aralığında azalan bir fonksiyon oldu��undan, eşitsizliğe kosinüs uygulandığında eşitsizlik yön değiştirir.
5
Elde edilen iki aralığın kesişimini almak
[−1,3]∩[−1,2]=[−1,2][-1, 3] \cap [-1, 2] = [-1, 2]
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için bulunan aralıkların kesişim kümesi alınır.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arccos fonksiyonunun tanım kümesinin [−1,1][-1, 1], değer kümesinin [0,π][0, \pi] olması ve bu aralıkta azalan bir karakter sergilemesi.
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic