Examkin

Question

Difficulty: Very hardMerkezcil İvme ve Merkezcil Kuvvet

Düşey eksen etrafında sabit ω\omega açısal hızıyla dönen RR yarıçaplı dairesel tel halkanın üzerine geçirilmiş mm kütleli sürtünmesiz bir boncuk, halkayla birlikte dönmektedir. Boncuk, halkanın en alt noktasından itibaren düşey doğrultuyla θ\theta açısı yapacak şekilde halka üzerinde kaymadan dengede kalmaktadır. Yer çekimi ivmesi gg olduğuna göre, boncuğun dengede kaldığı bu konumda cos⁡θ\cos\theta ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. A
    ω2Rg\frac{\omega^2 R}{g}
  2. B
    gωR\frac{g}{\omega R}
  3. gω2R\frac{g}{\omega^2 R}Answer
  4. D
    ω2R2g\frac{\omega^2 R^2}{g}
  5. E
    gω2R\sqrt{\frac{g}{\omega^2 R}}

Answer

İfade edilen oran yer çekimi ivmesinin, açısal hızın karesi ile halka yarıçapının çarpımına oranına eşittir.
Boncuğa etki eden normal kuvvetin düşey bileşeni cismin ağırlığını dengelerken, yatay bileşeni düşey eksen etrafındaki yatay düzlemde dönmesini sağlayan merkezcil kuvveti oluşturur. Denge konumunda bu iki denklemin çözülmesiyle açısal hız ve yarıçapa bağlı kosinüs değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Boncuk üzerindeki kuvvetlerin belirlenmesi ve serbest cisim diyagramının çizilmesi.
Boncuğa etki eden iki gerçek kuvvet bulunur: Yer çekimi kuvveti (mgmg) düşey aşağı yönde, halkanın uyguladığı normal tepki kuvveti (NN) ise dairesel kesitin merkezine doğrudur.
Harekete etki eden kuvvetleri belirleyip doğru denklemleri kurabilmek amacıyla yapılır.
2
Düşey doğrultudaki kuvvet dengesinin yazılması.
Boncuğun düşey doğrultuda hareket etmemesi sebebiyle düşey kuvvetlerin toplamı sıfırdır: Ncos⁡θ=mgN \cos\theta = mg olur.
Boncuğun halka üzerinde düşey olarak kaymadan, sabit bir yükseklikte kalabilmesi için gereken denge şartını belirlemek amacıyla yapılır.
3
Yatay düzlemdeki çembersel hareket için net kuvvetin yazılması.
Boncuk r=Rsin⁡θr = R \sin\theta yarıçaplı yatay bir çember üzerinde hareket eder. Bu hareketi sağlayan merkezcil kuvvet, normal kuvvetin yatay bileşenidir: Nsin⁡θ=mω2r=mω2Rsin⁡θN \sin\theta = m \omega^2 r = m \omega^2 R \sin\theta elde edilir.
Çembersel hareketin gerçekleşmesi için gerekli net merkeze doğru kuvveti (merkezcil kuvvet) tanımlamak amacıyla yapılır.
4
Denklemlerin birleştirilerek cos⁡θ\cos\theta ifadesinin çekilmesi.
Yatay hareket denkleminden sin⁡θ≠0\sin\theta \neq 0 olduğundan her iki taraf sin⁡θ\sin\theta'ya bölünerek N=mω2RN = m \omega^2 R bulunur. Bu değer düşey denge denkleminde yerine konulursa; (mω2R)cos⁡θ=mg(m \omega^2 R) \cos\theta = mg ve buradan cos⁡θ=gω2R\cos\theta = \frac{g}{\omega^2 R} bulunur.
Boncuğun denge açısı olan θ\theta açısının kosinüs değerini veren matematiksel ifadeye ulaşmak amacıyla yapılır.

Key Concept

Çembersel harekette merkezcil kuvvetin gerçek kuvvetlerin net bileşkesi olması ve doğru dönme ekseni yarıçapı kullanılarak ifade edilmesi.
Rate this question

Topics

Merkezcil İvme ve Merkezcil Kuvvet

More questions from this topic