f(x) = \log_{x-3}\left(\frac{64-x^2}{x-3}\right) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{x-3}\left(\frac{64-x^2}{x-3}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 18'dir.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için üç temel koşul uygulanır: Taban pozitif olmalıdır (

x-3 > 0 \Rightarrow x > 3

), taban 1 olmamalıdır (

x-3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4

) ve logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır (

\frac{64-x^2}{x-3} > 0

x > 3

olduğu için payda pozitif olup, ifadenin pozitif olması için payın da pozitif olması gerekir (

64-x^2 > 0 \Rightarrow -8 < x < 8

). Bu koşulların ortak kesişimi

(3, 8) \setminus \{4\}

kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar 5, 6 ve 7 olduğundan, toplamları 18'dir.

Logaritma tabanının tanım koşullarını belirleme

x > 3

x \neq 4

Logaritmanın tabanı daima pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır. Dolayısıyla

x-3 > 0 \Rightarrow x > 3

x-3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4

olmalıdır.

Logaritması alınan rasyonel ifadenin pozitif olma koşulunu belirleme

\frac{64-x^2}{x-3} > 0

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifade daima pozitif olmalıdır.

Eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturma ve koşulları sadeleştirme

64-x^2 > 0 \Rightarrow -8 < x < 8

(çünkü

x > 3

olduğundan payda daima pozitiftir)

1. adımda taban koşulundan

x > 3

olduğunu bulmuştuk. Bu durumda paydadaki

x-3

ifadesi daima pozitif olur. Dolayısıyla rasyonel ifadenin pozitif olması için pay kısmının da pozitif olması gerekir, yani

64-x^2 > 0

olmalıdır. Buradan

(8-x)(8+x) > 0 \Rightarrow -8 < x < 8

elde edilir.

Bulunan tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini belirleme

x \in (3, 8) \setminus \{4\}

x > 3

x \neq 4

-8 < x < 8

koşullarının ortak çözüm kümesi

(3, 8) \setminus \{4\}

aralığıdır.

Tanım kümesindeki tam sayıları bulma ve toplama

5, 6, 7 sayılarının toplamı olan 18

(3, 8) \setminus \{4\}

kümesindeki tam sayılar 5, 6 ve 7'dir. Bu sayıların toplamı

5 + 6 + 7 = 18

olarak bulunur.

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir.

Question