f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 5x - 14}{x - 4}\right) fonksiyonunun en geniş tanım … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 5x - 14}{x - 4}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 32

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 32'dir.

Logaritma tanımı gereğince, taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (

12-x>0

12-x \neq 1 \implies x < 12

x \neq 11

). Logaritması alınan ifade de pozitif olmalıdır (

\frac{x^2-5x-14}{x-4} > 0

). Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi işaret tablosundan

(-2, 4) \cup (7, \infty)

olarak bulunur. Bu iki koşul kümesinin kesişimi

(-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}

aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar

-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10

olup toplamları

32

'dir.

Step-by-Step Solution

Tabanın pozitiflik ve 1'den farklı olma koşullarını inceleme.

x < 12

x \neq 11

Bir logaritma fonksiyonunda taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

Logaritması alınan ifadenin köklerini bulma.

Payın kökleri

x = -2

x = 7

, paydanın kökü

x = 4

Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktalar belirlenmelidir.

Rasyonel ifadenin işaret tablosunu oluşturma ve pozitif bölgeleri belirleme.

x \in (-2, 4) \cup (7, \infty)

Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için pozitif olması gerekir.

Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirleme.

x \in (-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}

Hem tabanın hem de logaritması alınan ifadenin aynı anda tanımlı olması gerekir.

Tanım kümesindeki tam sayıları belirleme ve toplama.

Tam sayılar:

-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10

ve toplamları:

32

Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamıdır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar rasyonel eşitsizliklerin işaret incelemesiyle birleştirilerek en geniş tanım kümesi bulunur.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics