Examkin

Question

Difficulty: HardSabit ve Eşit Diziler
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=∑k=1n1k(k+1)(k+2)a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
olan (an)(a_n) dizisi ile genel terimi
bn=x⋅n2+y⋅nz⋅n2+w⋅n+16b_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16}
olan (bn)(b_n) dizisi eşit iki dizidir.

Buna göre, x+y+z+wx + y + z + w toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    36
  3. 40Answer
  4. D
    48
  5. E
    80

Answer

Dizilerin eşitliğinden katsayılar oranlandığında doğru cevap 40 değeridir.
İki dizinin eşit olabilmesi için her pozitif tam sayı teriminde eşit olmaları gerekir. Genel terimi verilen birinci dizinin toplamı teleskopik toplam yardımıyla sadeleştirildiğinde payı n2+3nn^2 + 3n, paydası 4n2+12n+84n^2 + 12n + 8 olan bir kesir elde edilir. Bu diziyi genel terimi verilen ikinci diziye eşitlemek için paydadaki sabit terim olan 8 sayısı, ikinci dizinin paydasındaki sabit terim olan 16 ile eşitlenecek şekilde kesir 2 ile genişletilir. Genişletme sonucunda elde edilen katsayılar toplandığında doğru cevap olan 40 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terimdeki rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılması.
1k(k+1)(k+2)=12(1k(k+1)−1(k+1)(k+2))\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) eşitliği elde edilir.
Teleskopik toplam yardımıyla dizinin genel terimini sadeleştirmek.
2
Toplam sembolünün teleskopik yöntemle açılması.
an=12[(11⋅2−12⋅3)+(12⋅3−13⋅4)+⋯+(1n(n+1)−1(n+1)(n+2))]a_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 3}\right) + \left(\frac{1}{2\cdot 3} - \frac{1}{3\cdot 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right] ifadesinden ara terimler sadeleşir.
Birbirini götüren terimleri belirleyip toplamı basitleştirmek.
3
Kalan terimlerin paydalarının eşitlenerek sadeleştirilmesi.
an=12(12−1(n+1)(n+2))=n2+3n4n2+12n+8a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} bulunur.
Dizinin genel terimini tek bir rasyonel ifade biçiminde yazmak.
4
ana_n ve bnb_n dizilerinin eşitliğinin kurulması.
n2+3n4n2+12n+8=x⋅n2+y⋅nz⋅n2+w⋅n+16\frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16} eşitliği kurulur. bnb_n dizisinin paydasındaki sabit terim 16 olduğundan, ana_n ifadesi 2 ile genişletilerek 2n2+6n8n2+24n+16\frac{2n^2 + 6n}{8n^2 + 24n + 16} elde edilir.
Dizilerin tüm pozitif tam sayılar için eşit olması gerektiğinden katsayıları eşitlemek.
5
Katsayıların karşılaştırılması ve istenen toplamın hesabı.
x=2x = 2, y=6y = 6, z=8z = 8, w=24w = 24 olarak bulunur. Toplamları ise 2+6+8+24=402 + 6 + 8 + 24 = 40 elde edilir.
Bilinmeyen katsayıların değerlerini belirleyip toplamlarını bulmak.

Key Concept

Eşit Diziler ve Teleskopik Toplamlar

Alternative Method

Alternatif bir yol olarak, dizilerin eşitliğinden faydalanarak ilk birkaç terim hesaplanabilir. a1=11⋅2⋅3=16a_1 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6} ve a2=16+12⋅3⋅4=16+124=524a_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24} bulunur. Buradan b1=x+yz+w+16=16b_1 = \frac{x+y}{z+w+16} = \frac{1}{6} ve b2=4x+2y4z+2w+16=524b_2 = \frac{4x+2y}{4z+2w+16} = \frac{5}{24} denklemleri elde edilir. Bu denklemler çözülerek katsayılar bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sabit ve Eşit Diziler

More questions from this topic