Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−ax+5f(x) = x^2 - ax + 5

parabolünün üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eksenleri kestiği noktalar AA ve BB dir.

Köşeleri koordinat başlangıcı (OO), AA ve BB noktaları olan OABOAB üçgeninde ∣OA∣=2∣OB∣|OA| = 2|OB| olduğuna göre, aa sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. 6Answer
  5. E
    8

Answer

Doğru cevap 6 değeridir.
Doğru cevap olan 6 değeri için, normal doğrusunun eğimi 1/2 olur ve bu doğru eksenleri (8,0) ve (0,-4) noktalarında keser. Bu durumda üçgenin dik kenar uzunlukları 8 birim ve 4 birim olduğundan |OA| = 2|OB| eşitliği sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak teğet doğrusunun eğimini bulunuz.
f'(x) = 2x - a olduğundan x = 2 noktasındaki teğet eğimi m_t = 4 - a olur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet ve normal doğrularının dikliği ilişkisini kullanarak normal doğrusunun eğimini belirleyiniz.
m_t * m_n = -1 bağıntısından m_n = 1 / (a - 4) elde edilir.
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir ve dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Eksenleri kesen bir doğrunun eksen kestiği noktaların orijine uzaklıkları oranı ile eğimi arasındaki ilişkiyi kurunuz.
y = mx + d doğrusu için |OA| = |d/m| ve |OB| = |d| olur. Buradan |OA| = 2|OB| eşitliği |d/m| = 2|d| yazılırsa, doğrunun orijinden geçmediği bilindiğinden (d ≠ 0) |m_n| = 1/2 bulunur.
Doğrunun eksenleri kestiği noktaların uzunluk oranları, doğrunun eğiminin mutlak değerinin çarpmaya göre tersi ile ilişkilidir.
4
Elde edilen eğim değerini a parametresine eşitleyerek olası a değerlerini hesaplayınız.
m_n = 1/2 için 1/(a-4) = 1/2 ise a = 6; m_n = -1/2 için 1/(a-4) = -1/2 ise a = 2 bulunur. a = 6 değeri seçeneklerde mevcuttur.
Eğimin mutlak değeri 1/2 olduğundan normal doğrusunun eğimi 1/2 veya -1/2 olmalıdır.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir ve doğrunun eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik oran doğrunun eğimini belirler.
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic