Examkin

Question

Difficulty: Very hardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x3−3x2+x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1

eğrisine üzerindeki farklı AA ve BB noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir.

Bu teğet doğruları arasındaki uzaklık 410\frac{4}{\sqrt{10}} birim olduğuna göre, bu paralel teğet doğrularının eğimi kaçtır?

Answer: -0.5

Answer

Paralel teğet doğrularının eğimi −0.5-0.5 olarak bulunur.
Doğru eğim değeri olan −0.5-0.5, paralel teğet doğrularının geometrik simetrisi ve aralarındaki uzaklık bağıntısı çözüldüğünde elde edilen tek gerçel çözümdür.

Step-by-Step Solution

1
Türev fonksiyonunun bulunması ve paralel teğet şartının yazılması
f′(x)=3x2−6x+1f'(x) = 3x^2 - 6x + 1 olup, teğet noktalarının apsisleri aa ve bb için 3x2−6x+(1−m)=03x^2 - 6x + (1 - m) = 0 denklemi elde edilir.
Teğet doğruları paralel olduğundan teğet noktalarındaki türev değerleri (eğimleri) eşit ve mm olmalıdır.
2
Simetri merkezinin kullanılması ve değişken dönüşümü yapılması
a+b=2a+b=2 olduğundan a=1−da = 1-d ve b=1+db = 1+d tanımlanır. Kökler çarpımı bağıntısından m=3d2−2m = 3d^2 - 2 bağıntısı elde edilir.
Apsislerin simetriğini kullanarak teğet doğrularının denklemlerini daha kolay ve sade bir şekilde ifade etmek hedeflenir.
3
Paralel teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması
L1:y=mx−2d3L_1: y = mx - 2d^3 ve L2:y=mx+2d3L_2: y = mx + 2d^3 denklemleri elde edilir.
İki paralel doğrunun denklemi arasındaki sabit terim farkını bulmak için teğet noktaları doğru denklemlerinde yerine yazılır.
4
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün uygulanması
4d3m2+1=410⇒10d6=m2+1\frac{4d^3}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}} \Rightarrow 10d^6 = m^2 + 1 denklemi kurulur.
Doğrular arasındaki uzaklığın belirtilen değere eşit olması bağıntısı kurulur.
5
Elde edilen denklemin çözülmesi ve eğimin bulunması
u=d2u = d^2 için 10u3−9u2+12u−5=010u^3 - 9u^2 + 12u - 5 = 0 denklemi çözülerek u=1/2u = 1/2 ve buradan m=−1/2m = -1/2 elde edilir.
Değişken değiştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle teğet doğrusunun eğimi olan mm değeri hesaplanır.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu, paralel teğet doğruları, iki paralel doğru arasındaki uzaklık ve simetri özellikleri.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic