Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+af(x) = x^2 - 3x + a
parabolüne üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusu,
g(x)=x3−bx2+1g(x) = x^3 - bx^2 + 1
eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktada teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    7

Answer

Ortak teğet doğrusunun denkleminin yazılması ve her iki fonksiyonun teğet noktalarındaki türev değerlerinin eğime eşitlenmesiyle elde edilen parametreler toplamı 5'tir.
Verilen fonksiyonların teğet oldukları noktalardaki türevleri ortak teğet doğrusunun eğimine (m = 1) eşittir. Bu eğim kullanılarak b = 1 değeri bulunur. Elde edilen teğet noktası (1, 1) yardımıyla ortak teğet doğrusunun denklemi y = x olarak yazılır. Diğer teğet noktası da bu denklemi sağlamak zorunda olduğundan a = 4 ve dolayısıyla a + b = 5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 türev fonksiyonu elde edilir. x=2x = 2 için f′(2)=2(2)−3=1f'(2) = 2(2) - 3 = 1 olur. Teğet doğrusunun eğimi m=1m = 1'dir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonuna x=1x = 1 noktasında teğet olan doğrunun eğimini kullanarak bb parametresini bulmak.
g′(x)=3x2−2bxg'(x) = 3x^2 - 2bx türev fonksiyonu elde edilir. x=1x = 1 için g′(1)=3−2bg'(1) = 3 - 2b olur. Ortak teğet doğrusunun eğimi 1 olduğundan, 3−2b=13 - 2b = 1 ise b=1b = 1 bulunur.
Aynı teğet doğrusu g(x)g(x) e��risine de teğet olduğundan, g(x)g(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi de teğet doğrusunun eğimi olan 1'e eşit olmalıdır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını belirlemek ve ortak teğet doğrusunun denklemini yazmak.
b=1b = 1 için g(x)=x3−x2+1g(x) = x^3 - x^2 + 1 olur. g(1)=1g(1) = 1 olduğundan teğet noktası (1,1)(1, 1)'dir. Eğimi m=1m = 1 olan ve (1,1)(1, 1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y−1=1(x−1)y - 1 = 1(x - 1) yani y=xy = x olarak bulunur.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak ortak teğet doğrusunun denklemi elde edilir.
4
f(x)f(x) parabolü üzerindeki teğet noktasını bulup teğet doğrusu üzerinde olduğunu kullanarak aa parametresini ve ardından a+ba + b toplamını hesaplamak.
f(x)f(x) parabolü üzerindeki teğet noktası (2,f(2))(2, f(2))'dir. f(2)=22−3(2)+a=a−2f(2) = 2^2 - 3(2) + a = a - 2 olur. Bu nokta y=xy = x doğrusu üzerinde olduğundan a−2=2a - 2 = 2 ise a=4a = 4 bulunur. Buradan a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5 elde edilir.
Eğri üzerindeki teğet noktası aynı zamanda teğet doğrusunun da üzerinde yer almak zorundadır.

Key Concept

İki farklı fonksiyona teğet olan ortak doğrunun eğiminin türev yardımıyla hesaplanması ve teğet noktalarının doğru denklemini sağlaması prensibi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic