f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 7x + 10}\right) + \sqrt{x+3} fonksiyonu tanım… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 7x + 10}\right) + \sqrt{x+3}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

Answer: -3

Answer

En geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı -3'tür.

Kareköklü ifadenin tanımlı olması için

x \geq -3

, logaritma tabanı için

x < 6

x \neq 5

olmalıdır. Rasyonel ifadenin pozitif olduğu aralıklar işaret tablosuyla

(-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty)

olarak bulunur. Tüm bu aralıkların kesişiminden en geniş tanım kümesi

[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6)

elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar

-3, -2, -1

3

olup toplamları

-3

olur.

Step-by-Step Solution

Kareköklü ifadenin tanımlı olma aralığını bulma

x \geq -3

Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.

Logaritma tabanının tanımlı olma şartlarını belirleme

x < 6

x \neq 5

Logaritma tabanının pozitif ve 1'den farklı olması gerekir:

6 - x > 0

6 - x \neq 1

Logaritma argümanının pozitif olma şartını belirleme

x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty)

Logaritmanın tanımlı olması için içerideki rasyonel ifadenin pozitif olması gerekir.

\frac{x(x-4)}{(x-2)(x-5)} > 0

eşitsizliğinin kökleri

0, 2, 4, 5

olup işaret tablosunda sağdan sola doğru

+ , - , + , - , +

şeklinde dizilir.

Eşitsizliklerin kesişimini alma ve tam sayı değerlerini toplama

Tam sayılar:

-3, -2, -1, 3

. Toplam:

-3

Bulunan tüm şartlar (

x \geq -3

x < 6

x \neq 5

ve rasyonel ifadenin pozitif olduğu bölgeler) kesiştirilerek en geniş tanım kümesi

[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6)

olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar toplanır.

Key Concept

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir. Eşitsizlik sistemlerinin çözümünde her bir şartın ortak kesişim kümesi alınır.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics