Examkin

Question

Difficulty: Very hardTemel Türev Alma Kuralları
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)
k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 ve g(1)=1g(1) = 1 olmak üzere, hh ve kk fonksiyonlarının türevleri sırasıyla
h′(x)=10xh'(x) = 10x
k′(x)=2[g(x)]2k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2}
biçiminde verilmiştir.

Buna göre, f′(1)+g′(1)f'(1) + g'(1) toplamı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. C
    7
  4. 8Answer
  5. E
    10

Answer

Çarpım ve böl��m türev kuralları uygulanarak elde edilen denklem sisteminin çözümünden f'(1) + g'(1) toplamı 8 olarak bulunur.
Çarpım türev kuralından f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 ve bölüm türev kuralından f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemleri elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde f′(1)=6f'(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 bulunur. Toplamları 8 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Çarpım türevi kuralını uygulayarak h'(1) değerini bulunuz.
f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 denklemi elde edilir.
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x) olduğundan çarpım türevi h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) şeklindedir. x=1x = 1 için h′(1)=f′(1)⋅g(1)+f(1)⋅g′(1)h'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) olur. Verilen f(1)=2f(1) = 2, g(1)=1g(1) = 1 ve h′(1)=10h'(1) = 10 değerleri yerine yazıldığında bu eşitliğe ulaşılır.
2
Bölüm türevi kuralını uygulayarak k'(1) değerini bulunuz.
f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemi elde edilir.
k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)} olduğundan bölüm türevi k′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2k'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} şeklindedir. Bize verilen k′(x)=2[g(x)]2k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2} ifadesinden payların eşit olması gerektiği görülür. Buradan f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)=2f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) = 2 elde edilir. x=1x = 1 için bilinen değerler yazıldığında denklem kurulur.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözünüz.
f′(1)=6f'(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 olarak bulunur.
f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 ve f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2f′(1)=12  ⟹  f′(1)=62f'(1) = 12 \implies f'(1) = 6 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 6+2g′(1)=10  ⟹  2g′(1)=4  ⟹  g′(1)=26 + 2g'(1) = 10 \implies 2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2 elde edilir.
4
İstenen toplam değerini hesaplayınız.
f′(1)+g′(1)=6+2=8f'(1) + g'(1) = 6 + 2 = 8 bulunur.
Soru bizden f′(1)f'(1) ve g′(1)g'(1) değerlerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

Türev kurallarından çarpımın ve bölümün türevi kurallarının cebirsel olarak uygulanması ve ortak denklem çözümü.
Rate this question

Topics

Temel Türev Alma Kuralları

More questions from this topic