Bir f fonksiyonu için \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4\neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, \lim_{x \to 2} \frac{f^2(x) - 9}{x^2 - 4} limitinin değeri kaçtır?

Bir f fonksiyonu için \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4\neşitliği sağlanmaktadır. … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

f

fonksiyonu için

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

\lim_{x \to 2} \frac{f^2(x) - 9}{x^2 - 4}

limitinin değeri kaçtır?

İstenen limit ifadesinde iki kare farkı özdeşliği kullanılarak belirsizliğe yol açan çarpanlar gruplandırılır.

\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-3}{x-2} = 4

değeri ve payın sıfıra gitme koşulundan elde edilen

\lim_{x \to 2} f(x) = 3

değeri kullanılarak limit özellikleri yardımıyla doğru yanıt olan 6 değerine ulaşılır.

Verilen limit bilgisinden faydalanarak

f(x)

fonksiyonunun

x \to 2

iken limit değerini belirlemek.

\lim_{x \to 2} (x - 2) = 0

olduğundan, limitin bir gerçel sayıya (4) eşit olabilmesi için payın limitinin de sıfır olması gerekir:

\lim_{x \to 2} (f(x) - 3) = 0 \implies \lim_{x \to 2} f(x) = 3

Payda sıfıra yaklaşırken limitin var olabilmesi için

0/0

belirsizliği oluşmalıdır.

İstenen limit ifadesini çarpanlarına ayırmak.

f^2(x) - 9 = (f(x) - 3)(f(x) + 3)

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

iki kare farkı açılımları kullanılır.
Bu durumda limit ifadesi:

\lim_{x \to 2} \frac{(f(x) - 3)(f(x) + 3)}{(x - 2)(x + 2)}

şekline dönüşür.

Belirsizliği oluşturan çarpanları belirlemek ve ifadeyi sadeleştirebilir hale getirmek.

Limit özelliklerini kullanarak ifadeyi parçalamak ve değerleri yerine yazmak.

İfadeyi çarpım durumunda iki limite ayırabiliriz:

\lim_{x \to 2} \left( \frac{f(x) - 3}{x - 2} \cdot \frac{f(x) + 3}{x + 2} \right) = \left( \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 2} \frac{f(x) + 3}{x + 2} \right)

Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

4 \cdot \frac{3 + 3}{2 + 2} = 4 \cdot \frac{6}{4} = 6

Çarpım limitinin, limitlerin çarpımına eşit olması özelliğini kullanıp sonucu hesaplamak.

Limit özelliklerini uygulama ve iki kare farkı özdeşliği yardımıyla belirsizlik içeren limitleri hesaplama.