Examkin

Question

Difficulty: MediumTers Trigonometrik Fonksiyonlar
arcsin⁡(x)=arctan⁡(2x)\arcsin(x) = \arctan(2x)

denklemini sağlayan sıfırdan farklı xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

  1. −34-\frac{3}{4}Answer
  2. B
    −32-\frac{3}{2}
  3. C
    −14-\frac{1}{4}
  4. D
    −38-\frac{3}{8}
  5. E
    −12-\frac{1}{2}

Answer

Sıfırdan farklı gerçel köklerin çarpımı olan negatif rasyonel sayı doğru cevaptır.
Denklemin sıfırdan farklı çözümleri olan kökler, ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları dikkate alınarak 32\frac{\sqrt{3}}{2} ve −32-\frac{\sqrt{3}}{2} olarak bulunur. Bu iki gerçel sayının çarpılmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Ters trigonometrik ifadelerin eşit olduğu açı değeri tanımlanır.
arcsin⁡(x)=θ\arcsin(x) = \theta ve arctan⁡(2x)=θ\arctan(2x) = \theta olsun. Burada θ∈(−π/2,π/2)\theta \in (-\pi/2, \pi/2) ve x∈[−1,1]x \in [-1, 1] aralığındadır.
Ters trigonometrik fonksiyonları ortak bir açı değişkenine bağlamak için.
2
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak trigonometrik denklemler yazılır.
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x ve tan⁡(θ)=2x\tan(\theta) = 2x
Denklemi çözmek için ters fonksiyon ifadelerini normal trigonometrik fonksiyonlara dönüştürmek gerekir.
3
İki denklemdeki ortak değişken kullanılarak tek bir trigonometrik denklem elde edilir.
tan⁡(θ)=2sin⁡(θ)\tan(\theta) = 2\sin(\theta)
Her iki eşitlikteki xx değişkeni birbiriyle ilişkilendirilerek tek bilinmeyenli bir denklem kurulur.
4
Trigonometrik denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
sin⁡(θ)cos⁡(θ)=2sin⁡(θ)  ⟹  sin⁡(θ)(1cos⁡(θ)−2)=0\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 2\sin(\theta) \implies \sin(\theta)\left(\frac{1}{\cos(\theta)} - 2\right) = 0
Tanjant fonksiyonunun sinüs/kosinüs açılımı yapılıp ortak terim parantezine alınması kökleri bulmayı sağlar.
5
Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek olası açı değerleri belirlenir.
sin⁡(θ)=0  ⟹  θ=0  ⟹  x=0\sin(\theta) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = 0 veya cos⁡(θ)=12  ⟹  θ=±π3\cos(\theta) = \frac{1}{2} \implies \theta = \pm\frac{\pi}{3}
Denklemi sağlayan tüm θ\theta değerlerinin bulunması hedeflenir.
6
Sıfırdan farklı θ\theta açıları için xx kökleri hesaplanır.
θ=π3  ⟹  x=sin⁡(π3)=32\theta = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve θ=−π3  ⟹  x=sin⁡(−π3)=−32\theta = -\frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x eşitliği kullanılarak aranan sıfırdan farklı kökler elde edilir.
7
Elde edilen sıfırdan farklı köklerin çarpımı hesaplanır.
(32)⋅(−32)=−34\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4}
Soruda istenen sıfırdan farklı köklerin çarpımına ulaşmak için.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümelerine uygun olarak denklemlerin çözülmesi ve özel açıların kullanılması.
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic