Examkin

Question

Difficulty: MediumBağımlı ve Bağımsız Olaylar

Bir hedef tahtasına atış yapan Can'ın hedefi vurma olasılığı pp, Deniz'in hedefi vurma olasılığı ise 2p2p'dir. Can ve Deniz'in hedefi vurma olayları bağımsızdır.

Hedefe her ikisi de birer atış yaptığında hedefin en az bir okçu tarafından vurulma olasılığı 58\frac{5}{8} olduğuna göre, bu okçulardan yalnız birinin hedefi vurma olasılığı kaçtır?

  1. A
    18\frac{1}{8}
  2. B
    38\frac{3}{8}
  3. 12\frac{1}{2}Answer
  4. D
    58\frac{5}{8}
  5. E
    34\frac{3}{4}

Answer

Okçulardan yalnız birinin hedefi vurma olasılığı 1/2 değerine eşittir.
Okçulardan yalnız birinin hedefi vurma olasılığı, Can'ın hedefi vurup Deniz'in vuramama olasılığı ile Deniz'in hedefi vurup Can'ın vuramama olasılığının toplamıdır. p=1/4p = 1/4 bulunduktan sonra bu olasılıkların toplamı 1/2 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Can ve Deniz'in hedefi vurma olaylarının olasılıklarını pp cinsinden yazıp bağımsız olaylar olduklarını kullanarak kesişim olasılığını belirlemek.
P(C)=pP(C) = p, P(D)=2pP(D) = 2p ve olaylar bağımsız olduğundan P(C∩D)=P(C)⋅P(D)=p⋅2p=2p2P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D) = p \cdot 2p = 2p^2 elde edilir.
Birleşim formülünde kesişim olasılığı değerinin kullanılması gerekir.
2
Hedefin en az bir okçu tarafından vurulma olasılığı formülünü (P(C∪D)=P(C)+P(D)−P(C∩D)P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D)) kullanarak pp değerini bulmak için denklem kurmak.
p+2p−2p2=58  ⟹  3p−2p2=58  ⟹  16p2−24p+5=0p + 2p - 2p^2 = \frac{5}{8} \implies 3p - 2p^2 = \frac{5}{8} \implies 16p^2 - 24p + 5 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (4p−1)(4p−5)=0(4p - 1)(4p - 5) = 0 olur. Olasılık değeri 11'den büyük olamayacağı ve Deniz'in vurma olasılığı 2p≤12p \leq 1 olması gerektiğinden p=14p = \frac{1}{4} olarak bulunur.
Okçuların hedefi vurma olasılıklarının sayısal değerlerini belirlemek gerekir.
3
Yalnız bir okçunun hedefi vurma olasılığını hesaplamak.
P(C)=14P(C) = \frac{1}{4} ve P(D)=12P(D) = \frac{1}{2} bulunur. Yalnız bir okçunun vurma olasılığı: P(C∩D′)+P(D∩C′)=P(C)⋅(1−P(D))+P(D)⋅(1−P(C))=14⋅12+12⋅34=18+38=12P(C \cap D') + P(D \cap C') = P(C) \cdot (1 - P(D)) + P(D) \cdot (1 - P(C)) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2} elde edilir.
Soruda istenen yalnız bir okçunun hedefi vurma durumunu hesaplamak için iki durum toplanır.

Key Concept

Bağımsız Olayların Birlikte Gerçekleşme Olasılığı ve Birleşim Olasılığı
Rate this question

Topics

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

More questions from this topic