Bağımlı ve Bağımsız Olaylar Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Question 1Question →

Bir madeni para ile bir düzgün zar aynı anda havaya atılıyor. Paranın tura gelmesi olayı ile zarın üst yüzüne gelen sayının $4$ 'ten küçük olması olayının birlikte gerçekleşme olasılığı kaçtır?

\frac{3}{4}

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

1

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{4}$

Answer

İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan dörtte bir

Paranın tura gelmesi ve zarın

4

'ten küçük gelmesi olayları bağımsız olaylardır. Bağımsız iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Paranın tura gelme olasılığı

\frac{1}{2}

, zarın

4

'ten küçük gelme olasılığı ise

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

olduğundan, birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Paranın tura gelme olasılığını belirleyin.

P(A) = \frac{1}{2}

Madeni paranın tura veya yazı olmak üzere iki olası sonucu vardır ve tura gelme olasılığı ikide birdir.

2

Zarın üst yüzüne gelen sayının

4

'ten küçük olma olasılığını belirleyin.

P(B) = \frac{1}{2}

Zarın üst yüzüne gelebilecek sayılar

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

olmak üzere 6 tanedir.

4

'ten küçük olanlar

\{1, 2, 3\}

olmak üzere 3 tanedir. Olasılık

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

olur.

3

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığını çarpım kuralı ile hesaplayın.

P(A \cap B) = \frac{1}{4}

Paranın gelme durumu ile zarın gelme durumu birbirini etkilemediğinden bu olaylar bağımsızdır. Birlikte gerçekleşme olasılığı:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

.

Key Concept

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı (

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

)

Estimated Time:1m 0s

Question 2Question →

Bir torbada $2$ kırmızı ve $3$ mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekilip rengine bakıldıktan sonra torbaya geri atılıyor. Ardından torbadan rastgele ikinci bir bilye çekiliyor. Buna göre, çekilen ilk bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.24

Answer

İlk bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığı 0,24'tür.

İlk bilyenin kırmızı olma olasılığı 2/5 (0,4) ve çekilen bilye torbaya geri atıldığı için ikinci bilyenin mavi olma olasılığı 3/5 (0,6) olur. Olaylar bağımsız olduğundan bu iki olasılık çarpılarak doğru sonuç 0,24 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama

P(K_1) = 2/5 = 0,4

Torbada toplam 5 bilye olup bunlardan 2'si kırmızıdır.

2

İkinci çekilen bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(M_2) = 3/5 = 0,6

İlk çekilen bilye geri atıldığı için torbadaki bilye sayısı ve renk dağılımı değişmemiştir, bu yüzden olaylar bağımsızdır.

3

İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulma

P(K_1 ve M_2) = 0,4 * 0,6 = 0,24

Bağımsız olayların kesişim olasılığı, her bir olayın olasılıklarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Bağımsız Olayların Çarpım Kuralı

Question 3Question →

Bir torbada $3$ kırmızı ve $4$ beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen top kırmızı ise torbaya geri atılmayıp torbaya $1$ beyaz top ekleniyor; eğer çekilen top beyaz ise torbaya geri atılıp torbaya $1$ kırmızı top ekleniyor. Ardından torbadan rastgele ikinci bir top çekiliyor.

Buna göre, ikinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

\frac{2}{7}

\frac{2}{3}

\frac{7}{10}

\frac{3}{10}

\frac{8}{11}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{10}$

Answer

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı

\frac{7}{10}

olarak bulunur.

İkinci topun kırmızı geldiği bilindiği için bu durum yeni örnek uzayımız olur. İlk topun beyaz ve ikincinin kırmızı geldiği durumun olasılığı (ondört bölü kırk dokuz), ikinci topun kırmızı geldiği toplam olasılığa (yirmi bölü kırk dokuz) oranlandığında yedi bölü on sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk çekimde kırmızı top gelmesi durumunu ve sonrasındaki torba yapısını analiz etme

İlk çekilen topun kırmızı olma olasılığı

P(K_1) = \frac{3}{7}

'dir. Kırmızı top geri atılmayıp yerine

1

beyaz top eklendiğinden torbada

2

kırmızı ve

5

beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2 | K_1) = \frac{2}{7}

olur. İki olayın ortak olasılığı

P(K_1 \cap K_2) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{49}

'dur.

Bağımlı olayların zincirleme olasılıklarını belirlemek için ilk aşamayı hesaplamamız gerekir.

2

İlk çekimde beyaz top gelmesi durumunu ve sonrasındaki torba yapısını analiz etme

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı

P(B_1) = \frac{4}{7}

'dir. Beyaz top geri atılıp torbaya

1

kırmızı top eklendiğinden torbada

4

kırmızı ve

4

beyaz top olur. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2 | B_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

olur. İki olayın ortak olasılığı

P(B_1 \cap K_2) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{14}{49}

'dur.

İkinci aşamada beyaz topun çekilmesi durumundaki bağımlı olasılık yollarını belirlemek için.

3

İkinci topun kırmızı gelme toplam olasılığını hesaplama

P(K_2) = P(K_1 \cap K_2) + P(B_1 \cap K_2) = \frac{6}{49} + \frac{14}{49} = \frac{20}{49}

'dur.

Koşullu olasılık formülünün paydasını (örnek uzayı daraltan koşulu) bulmak amacıyla toplam olasılık teoremini uygularız.

4

Koşullu olasılık formülünü uygulayarak nihai sonucu bulma

P(B_1 | K_2) = \frac{P(B_1 \cap K_2)}{P(K_2)} = \frac{\frac{14}{49}}{\frac{20}{49}} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}

'dur.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ilk çekilen topun beyaz olma olasılığını hesaplamak için koşullu olasılık tanımını kullanırız.

Key Concept

Bağımlı olayların olasılıkları hesaplanırken bir sonraki aşamadaki örnek uzay ve eleman sayıları ilk aşamadaki sonuca göre değişir. Koşullu olasılık sorularında ise toplam olasılık hesaplanarak örnek uzay daraltılır.

Question 4Question →

Bir veri merkezinde bulunan $A$ ve $B$ sunucularının bir gün içinde arızalanma olasılıkları sırasıyla $P(E_A)$ ve $P(E_B)$ 'dir. Bu sunucuların arızalanma durumları birbirinden bağımsız olaylardır.

$A$ sunucusunun arızalanma olasılığı, $B$ sunucusunun arızalanma olasılığının $2$ katıdır.

Gün sonunda bu sunuculardan en az birinin arızalanmış olma olasılığı $\frac{7}{9}$ olduğuna göre, sadece $A$ sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Sadece A sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade biçimde 4/9 olup, pay ve payda toplamı 13'tür.

Sadece A sunucusunun arızalanması olasılığı, A'nın arızalanması ve B'nin arızalanmaması olaylarının kesişimidir. Olaylar bağımsız olduğu için bu olasılıkların çarpımı olan 4/9 değerine ulaşılır. Pay ve payda toplamı ise 13'tür.

Step-by-Step Solution

1

Sunucuların arızalanma olasılıklarını değişkenler cinsinden ifade etme

P(E_B) = p

ise

P(E_A) = 2p

olur.

A sunucusunun arızalanma olasılığının, B sunucusunun arızalanma olasıl��ğının 2 katı olduğu soruda verilmiştir.

2

En az bir sunucunun arızalanma olasılığı formülünü bağımsız olaylar için kurup çözme

18p^2 - 27p + 7 = 0

denkleminden

p = \frac{1}{3}

elde edilir.

Olaylar bağımsız olduğundan

P(E_A \cup E_B) = P(E_A) + P(E_B) - P(E_A) \cdot P(E_B) = 2p + p - 2p^2 = 3p - 2p^2

olur.

3p - 2p^2 = \frac{7}{9}

eşitliğinden

18p^2 - 27p + 7 = 0

elde edilir. Bu denklemin çarpanları

(3p - 1)(6p - 7) = 0

olup kökleri

p = \frac{1}{3}

veya

p = \frac{7}{6}

'dır. Olasılık değeri 1'den büyük olamayacağı ve

P(E_A) = 2p \leq 1

olması gerektiği için

p = \frac{1}{3}

alınır.

3

Sadece A sunucusunun arızalanma olasılığını hesaplama

P(E_A \cap E_B') = \frac{4}{9}

olur.

Sadece A'nın arızalanması, A'nın arızalanıp B'nin arızalanmaması anlamına gelir. Bağımsız olaylar için bu olasılık

P(E_A) \cdot (1 - P(E_B)) = \frac{2}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

olarak hesaplanır.

4

En sade rasyonel ifadenin pay ve payda değerlerini toplama

a + b = 4 + 9 = 13

bulunur.

Bulunan

\frac{4}{9}

kesri en sade halindedir. Bu durumda

a = 4

ve

b = 9

olup toplamları 13'tür.

Key Concept

Bağımsız olayların kesişim ve birleşim olasılıklarının hesaplanması

Question 5Question →

Bir torbada $4$ sarı ve $6$ lacivert kart bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir kart çekiliyor.

- Çekilen kart sarı ise, üzerinde $1$ 'den $6$ 'ya kadar rakamların yazılı olduğu düzgün bir zar atılıyor.
- Çekilen kart lacivert ise, üzerinde $1$ 'den $8$ 'e kadar rakamların yazılı olduğu düzgün sekizyüzlü bir zar atılıyor.

Buna göre,

I. Çekilen kartın sarı olması olayı ile zarda tek sayı gelmesi olayı bağımsızdır.
II. Çekilen kartın sarı olması olayı ile zarda $3$ 'ten küçük bir sayı gelmesi olayı bağımsızdır.
III. Zarda gelen sayının çift sayı olması olasılığı $\frac{1}{2}$ 'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III ifadeleri doğrudur.

I ve III ifadelerinin doğru olduğunu gösteren matematiksel açıklamadır. Kartın sarı olması olayı ile zarda tek sayı gelmesi olayı bağımsızdır çünkü kesişimlerinin olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir. Benzer şekilde, toplam olasılık formülünden zarda gelen sayının çift olma olasılığı 1/2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Torbada bulunan toplam kart sayısını belirleyip sarı ve lacivert kart çekilme olasılıklarını hesaplayın.

P(\text{Sarı}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

ve

P(\text{Lacivert}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

bulunur.

İkinci aşamadaki zar atışlarının hangi zarla yapılacağını belirleyen olasılıkları bulmak için.

2

I. öncül için zarda tek sayı gelme olasılığını (

P(T)

) toplam olasılık formülüyle hesaplayıp sarı kart çekme olayı (

S

) ile bağımsızlığını test edin.

Sarı kart çekildiğinde 6 yüzlü zarda tek gelme olasılığı

P(T|S) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

, lacivert kart çekildiğinde 8 yüzlü zarda tek gelme olasılığı

P(T|L) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

'dir. Toplam olasılık:

P(T) = P(T|S)P(S) + P(T|L)P(L) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2}

. Kesişim olasılığı:

P(S \cap T) = P(T|S) \cdot P(S) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

.

P(S) \cdot P(T) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}

olduğundan

P(S \cap T) = P(S) \cdot P(T)

eşitliği sağlanır ve olaylar bağımsızdır.

İki olayın bağımsız olabilmesi için kesişimlerinin olasılığının, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşit olması gerekir.

3

II. öncül için zarda 3'ten küçük bir sayı gelme olasılığını (

P(M)

) hesaplayıp sarı kart çekme olayı (

S

) ile bağımsızlığını test edin.

Sarı kart çekildiğinde 6 yüzlü zarda 3'ten küçük gelme olasılığı

P(M|S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

, lacivert kart çekildiğinde 8 yüzlü zarda 3'ten küçük gelme olasılığı

P(M|L) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

'tür. Toplam olasılık:

P(M) = P(M|S)P(S) + P(M|L)P(L) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} = \frac{17}{60}

. Kesişim olasılığı:

P(S \cap M) = P(M|S) \cdot P(S) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15} = \frac{8}{60}

.

P(S) \cdot P(M) = \frac{2}{5} \cdot \frac{17}{60} = \frac{34}{300} = \frac{17}{150}

'dir.

\frac{8}{60} \neq \frac{17}{150}

olduğundan bu olaylar bağımlıdır.

Kesişim olasılığı ile olasılıkların çarpımı eşit çıkmadığı için bağımsızlık koşulu sağlanmaz.

4

III. öncül için zarda çift sayı gelme olasılığını (

P(\text{Çift})

) toplam olasılık formülüyle hesaplayın.

P(\text{Çift}) = 1 - P(T) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

bulunur.

Bir zar atıldığında gelen sayının tek veya çift olması birbirinin tümleyeni olan iki olaydır.

Key Concept

İki aşamalı deneylerde olayların bağımsızlığının matematiksel olarak

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

bağıntısıyla test edilmesi.

Question 6Question →

Bir torbada $3$ kırmızı, $4$ mavi ve $5$ yeşil bilye bulunmaktadır. Bu torbadan çekilen bilye geri atılmaksızın art arda rastgele iki bilye çekiliyor.

Çekilen birinci bilyenin kırmızı veya ikinci bilyenin mavi olma olasılığı en sade hâliyle $\frac{a}{b}$ kesridir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 197

Answer

Doğru cevap 197'dir. İstenen olasılık değeri en sade biçimde

\frac{65}{132}

olarak hesaplanır ve bu kesrin payı ile paydasının toplamı 197'ye eşit olur.

İstenen durumun olasılığı, bağımlı olaylar kuralı ve olasılık birleşim formülü (

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

) kullanılarak en sade biçimde

\frac{65}{132}

olarak hesaplanır. Buradan pay ve paydanın toplamı

65 + 132 = 197

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olayları tanımlama ve birleşim formülünü yazma

P(K_1 \cup M_2) = P(K_1) + P(M_2) - P(K_1 \cap M_2)

Birinci bilyenin kırmızı (veya) ikinci bilyenin mavi olma olasılığı sorulduğu için iki olayın birleşim kümesi olasılık formülü uygulanmalıdır.

2

Birinci bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama

P(K_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Torbadaki toplam 12 bilyeden 3 tanesi kırmızıdır.

3

İkinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(M_2) = \frac{1}{3}

Bilyeler geri konulmadığı için bağımlı olaylardır. İkinci bilyenin mavi olma olasılığı, birincinin mavi olması (

P(M_1 \cap M_2) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11}

) ve birincinin mavi olmaması (

P(M_1' \cap M_2) = \frac{8}{12} \times \frac{4}{11}

) durumlarının toplamıdır.

4

Birinci bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(K_1 \cap M_2) = \frac{1}{11}

Çekilen bilye geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. Birincinin kırmızı gelme olasılığı

\frac{3}{12}

iken, kalan 11 bilyeden 4'ünün mavi olma olasılığı

\frac{4}{11}

olur.

5

Birleşim olasılığını ve

a+b

toplamını hesaplama

P(K_1 \cup M_2) = \frac{65}{132}

ve

a+b = 197

Değerler formülde yerine yazıldığında

\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{11} = \frac{65}{132}

elde edilir.

65

ve

132

aralarında asal olduğundan

a=65

,

b=132

ve

a+b=197

bulunur.

Key Concept

Bağımlı Olaylar ve Olasılık Birleşim Kuralı

Alternative Method

İstenen durumun tümleyenini (tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak) hesaplayabiliriz. İstenmeyen durum, birinci bilyenin kırmızı OLMAMASI ve ikinci bilyenin mavi OLMAMASI durumudur. Birinci bilyenin kırmızı olmama olasılığı

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

'tür. Bu durumda ilk çekilen bilye mavi ise (olasılık

\frac{4}{12}

), geriye kalan 11 bilyeden 8'i mavi değildir. İlk çekilen yeşil ise (olasılık

\frac{5}{12}

), geriye kalan 11 bilyeden 7'i mavi değildir. Bu yolla istenmeyen durumun olasılığı

\frac{4}{12} \times \frac{8}{11} + \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{32 + 35}{132} = \frac{67}{132}

olarak bulunur. Tüm durumdan çıkardığımızda

1 - \frac{67}{132} = \frac{65}{132}

olasılığını elde ederiz.

Estimated Time:2m 30s

Question 7Question →

Bir mobil oyunda bir oyuncu sırasıyla 1. ve 2. seviyeleri oynayacaktır. Oyuncunun 1. seviyeyi geçme olasılığı $\frac{2}{3}$ 'tür. Oyuncu 1. seviyeyi geçerse, edindiği tecrübeyle 2. seviyeyi geçme olasılığı $\frac{3}{4}$ olmaktadır. Eğer 1. seviyeyi geçemezse, moral bozukluğu nedeniyle 2. seviyeyi geçme olasılığ�� $\frac{1}{4}$ 'e düşmektedir. Buna göre, bu oyuncunun bu iki seviyeden en az birini geçme olasılığı yüzde kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 75

Answer

Oyuncunun bu iki seviyeden en az birini geçme olasılığı %75'tir.

Oyuncunun iki seviyeden en az birini geçme olasılığı, hiçbirini geçememe olasılığının tümleyenidir. İlk seviyeyi geçememe olasılığı

\frac{1}{3}

, bu durumda ikinciyi de geçememe olasılığı

\frac{3}{4}

olup, birlikte gerçekleşme olasılıkları

\frac{1}{4}

'tür. 1'den çıkarıldığında cevap %75 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci seviyeyi geçememe olasılığının hesaplanması

P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, kesin olay olasılığı olan 1'den gerçekleşme olasılığının çıkarılmasıyla bulunur.

2

Birinci seviye geçilemediğinde ikinci seviyenin de geçilememe olasılığının hesaplanması

P(B'|A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Oyuncu birinci seviyeyi geçemediğinde ikinci seviyeyi geçme olasılığı

\frac{1}{4}

olduğuna göre, geçememe olasılığı tümleyen kuralı gereği

1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

olur.

3

Her iki seviyenin de geçilememe olasılığının hesaplanması

P(A' \cap B') = P(A') \times P(B'|A') = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

Bağımlı olaylarda iki olayın ardışık gerçekleşme olasılığı, ilk olayın olasılığı ile ilkinin gerçekleştiği koşul altındaki ikinci olayın olasılığının çarpımıdır.

4

En az bir seviyeyi geçme olasılığının bulunması

1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = \%75

En az bir seviyeyi geçme olayı, hiçbir seviyeyi geçememe olayının tümleyenidir. Dolayısıyla 1'den tüm başarısızlık olasılığı çıkarılır.

Key Concept

Bağımlı olayların olasılığı, koşullu olasılık ve tümleyen olay ilişkisi.

Question 8Question →

Bir hedef tahtasına atış yapan Can'ın hedefi vurma olasılığı $p$ , Deniz'in hedefi vurma olasılığı ise $2p$ 'dir. Can ve Deniz'in hedefi vurma olayları bağımsızdır.

Hedefe her ikisi de birer atış yaptığında hedefin en az bir okçu tarafından vurulma olasılığı $\frac{5}{8}$ olduğuna göre, bu okçulardan yalnız birinin hedefi vurma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

\frac{1}{2}

\frac{5}{8}

\frac{3}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{2}$

Answer

Okçulardan yalnız birinin hedefi vurma olasılığı 1/2 değerine eşittir.

Okçulardan yalnız birinin hedefi vurma olasılığı, Can'ın hedefi vurup Deniz'in vuramama olasılığı ile Deniz'in hedefi vurup Can'ın vuramama olasılığının toplamıdır.

p = 1/4

bulunduktan sonra bu olasılıkların toplamı 1/2 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Can ve Deniz'in hedefi vurma olaylarının olasılıklarını

p

cinsinden yazıp bağımsız olaylar olduklarını kullanarak kesişim olasılığını belirlemek.

P(C) = p

,

P(D) = 2p

ve olaylar bağımsız olduğundan

P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D) = p \cdot 2p = 2p^2

elde edilir.

Birleşim formülünde kesişim olasılığı değerinin kullanılması gerekir.

2

Hedefin en az bir okçu tarafından vurulma olasılığı formülünü (

P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D)

) kullanarak

p

değerini bulmak için denklem kurmak.

p + 2p - 2p^2 = \frac{5}{8} \implies 3p - 2p^2 = \frac{5}{8} \implies 16p^2 - 24p + 5 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında

(4p - 1)(4p - 5) = 0

olur. Olasılık değeri

1

'den büyük olamayacağı ve Deniz'in vurma olasılığı

2p \leq 1

olması gerektiğinden

p = \frac{1}{4}

olarak bulunur.

Okçuların hedefi vurma olasılıklarının sayısal değerlerini belirlemek gerekir.

3

Yalnız bir okçunun hedefi vurma olasılığını hesaplamak.

P(C) = \frac{1}{4}

ve

P(D) = \frac{1}{2}

bulunur. Yalnız bir okçunun vurma olasılığı:

P(C \cap D') + P(D \cap C') = P(C) \cdot (1 - P(D)) + P(D) \cdot (1 - P(C)) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}

elde edilir.

Soruda istenen yalnız bir okçunun hedefi vurma durumunu hesaplamak için iki durum toplanır.

Key Concept

Bağımsız Olayların Birlikte Gerçekleşme Olasılığı ve Birleşim Olasılığı

Question 9Question →

Bir torbada $4$ mavi ve $5$ kırmızı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilye mavi ise bu bilye torbaya geri konulmuyor ve torbaya $2$ kırmızı bilye ekleniyor. Çekilen bilye kırmızı ise bu bilye torbaya geri konuluyor ve torbaya $1$ mavi bilye ekleniyor.

Buna göre, torbadan art arda yapılan iki çekilişte ikinci çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 143

Answer

İkinci çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı en sade haliyle

\frac{53}{90}

olup, pay ve payda toplamı 143'tür.

İkinci çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı, ilk çekilen bilyenin mavi veya kırmızı olma durumlarına göre iki ayrı bağımlı olayın toplam olasılığıdır. İlk bilye mavi ise ikinci çekimde kırmızı olasılığı

\frac{28}{90}

, ilk bilye kırmızı ise ikinci çekimde kırmızı olasılığı

\frac{25}{90}

'dır. Toplam olasılık

\frac{53}{90}

olup, en sade biçimde pay ve payda toplamı

53+90=143

olur.

Step-by-Step Solution

1

İlk çekimde mavi bilye gelme durumunu hesaplamak

Olasılık

\frac{28}{90}

İlk bilyenin mavi gelme olasılığı

\frac{4}{9}

'dur. Bu durumda çekilen mavi bilye geri konulmayıp

2

kırmızı bilye eklendiği için torbada

3

mavi ve

7

kırmızı olmak üzere toplam

10

bilye kalır. İkinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

\frac{7}{10}

olur. Bu iki bağımlı adımın çarpımı

\frac{28}{90}

'dır.

2

İlk çekimde kırmızı bilye gelme durumunu hesaplamak

Olasılık

\frac{25}{90}

İlk bilyenin kırmızı gelme olasılığı

\frac{5}{9}

'dur. Bu durumda kırmız�� bilye geri konulup

1

mavi bilye eklendiği için torbada

5

mavi ve

5

kırmızı olmak üzere toplam

10

bilye olur. İkinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

\frac{5}{10}

olur. Bu iki adımın çarpımı

\frac{25}{90}

'dır.

3

İki durumu toplayarak en sade kesri ve pay-payda toplamını bulmak

Olasılık

\frac{53}{90}

ve

a+b = 143

İki farklı durumun olasılıkları toplanır:

\frac{28}{90} + \frac{25}{90} = \frac{53}{90}

.

53

sayısı asal olduğundan kesir en sade halindedir. Buradan

a=53

,

b=90

alınarak toplam

143

bulunur.

Key Concept

Birbirini izleyen bağımlı olayların olasılıklarının koşullara göre hesaplanıp toplanması.

Question 10Question →

Bir otomobil fabrikasındaki iki bağımsız test istasyonundan birincisinde araçların fren sistemi, ikincisinde ise far sistemi kontrol edilmektedir. Rastgele seçilen bir aracın fren kontrolünden geçememe olasılığı $\frac{1}{10}$ , far kontrolünden geçememe olasılığı ise $\frac{1}{8}$ 'dir.

Buna göre, test edilen bir aracın bu kontrollerden yalnızca birini geçme olasılığı kaçtır?

\frac{7}{80}

\frac{9}{80}

\frac{17}{80}

\frac{1}{5}

\frac{9}{40}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{5}$

Answer

Test edilen bir aracın bu kontrollerden yalnızca birini geçme olasılığı

\frac{1}{5}

'tir.

Aracın yalnızca bir testten geçmesi iki bağımsız ve ayrık durumun birleşimidir: ya fren testini geçip far testinden kalır ya da fren testinden kalıp far testini geçer. Bu iki olasılık sırasıyla

\frac{9}{10} \times \frac{1}{8} = \frac{9}{80}

ve

\frac{1}{10} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{80}

olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı

\frac{16}{80} = \frac{1}{5}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Her bir kontrolün geçme olasılıklarını hesaplayın.

Fren testinden geçme olasılığı:

1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}

. Far testinden geçme olasılığı:

1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

'dir.

Yalnızca bir kontrolün geçilmesi ifadesi, birinden geçip diğerinden kalma durumlarını içerdiği için geçme olasılıklarına ihtiyaç duyulur.

2

Aracın yalnızca fren kontrolünden geçtiği durumu hesaplayın.

Frenden geçip fardan kalma olasılığı:

\frac{9}{10} \times \frac{1}{8} = \frac{9}{80}

'dir.

Kontroller bağımsız olaylar olduğundan, bu iki durumun ortak olasılığı çarpılarak bulunur.

3

Aracın yalnızca far kontrolünden geçtiği durumu hesaplayın.

Frenden kalıp fardan geçme olasılığı:

\frac{1}{10} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{80}

'dir.

İkinci olası durumu belirlemek için kontrollerin bağımsızlığı kullanılarak olasılıklar çarpılır.

4

Elde edilen bu iki ayrık durumun olasılığını toplayarak sadeleştirin.

\frac{9}{80} + \frac{7}{80} = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}

'tir.

Yalnızca birini geçme olayı bu iki durumun birleşimi (toplamı) ile bulunur.

Key Concept

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı ve ayrık olayların olasılıklarının toplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 11Question →

Bir teknoloji mağazasında satılan telefonların ekran boyutu ve batarya kapasitesi özelliklerine göre dağılımı incelenmektedir. Mağazadaki telefonlardan rastgele seçilen bir telefonun;
- Büyük ekranlı olma olayı $E$ ,
- Yüksek batarya kapasiteli olma olayı $B$
olarak tanımlanıyor.

Bu mağazadaki telefonların $\%50$ 'sinin büyük ekranlı, $\%40$ 'ının yüksek batarya kapasiteli ve $\%70$ 'inin büyük ekranlı veya yüksek batarya kapasiteli olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. $E$ ve $B$ olayları bağımsız olaylardır.
II. Seçilen bir telefonun büyük ekranlı olduğu bilindiğine göre, yüksek batarya kapasiteli olma olasılığı $\%20$ 'dir.
III. Seçilen bir telefonun yüksek batarya kapasiteli olduğu bilindiğine göre, büyük ekranlı olma olasılığı $\%50$ 'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III ifadeleri doğrudur.

I ve III ifadeleri doğrudur. Büyük ekranlı olma olayı ve yüksek batarya kapasiteli olma olayının kesişim olasılığı

0,20

olarak bulunur. Olayların kendi olasılıklarının çarpımı da

0,50 \cdot 0,40 = 0,20

olduğundan olaylar bağımsızdır (I. öncül doğru). Bağımsız olaylarda bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmediğinden, yüksek batarya kapasiteli olduğu bilinen telefonun büyük ekranlı olma olasılığı doğrudan büyük ekranlı olma olasılığına eşittir ve

\%50

olur (III. öncül doğru). İkinci öncülde verilen

\%20

değeri ise koşullu olasılık değil, sadece iki özelliğin bir arada bulunma (kesişim) olasılığıdır.

Step-by-Step Solution

1

Olayların kesişim olasılığını (

P(E \cap B)

) hesaplamak için birleşim formülünü kullanın.

P(E \cup B) = P(E) + P(B) - P(E \cap B)

formülünden

0,70 = 0,50 + 0,40 - P(E \cap B) \implies P(E \cap B) = 0,20

elde edilir.

Kesişim olasılığı, olayların bağımsızlığını test etmek ve koşullu olasılıkları hesaplamak için gereklidir.

2

I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için bağımsızlık şartını test edin.

P(E) \cdot P(B) = 0,50 \cdot 0,40 = 0,20

bulunur.

P(E \cap B) = 0,20

olduğundan

P(E \cap B) = P(E) \cdot P(B)

eşitliği sağlanır.

Kesişim olasılığı, iki olayın olasılıklarının çarpımına eşitse bu iki olay bağımsızdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

3

II. öncüldeki koşullu olasılığı hesaplayın.

P(B|E) = \frac{P(E \cap B)}{P(E)} = \frac{0,20}{0,50} = 0,40

(yani

\%40

) bulunur. Öncülde

\%20

verildiği için bu öncül yanlıştır.

Büyük ekranlı olduğu bilindiği için örnek uzay birinci olayın olasılığına daraltılmalıdır. Olaylar bağımsız olduğundan doğrudan

P(B|E) = P(B) = \%40

olduğu da görülebilir.

4

III. öncüldeki koşullu olasılığı hesaplayın.

P(E|B) = \frac{P(E \cap B)}{P(B)} = \frac{0,20}{0,40} = 0,50

(yani

\%50

) bulunur. Öncülde

\%50

verildiği için bu öncül doğrudur.

Yüksek batarya kapasiteli olduğu bilindiği için örnek uzay ikinci olayın olasılığına daraltılmalıdır. Olaylar bağımsız olduğundan doğrudan

P(E|B) = P(E) = \%50

olduğu da görülebilir.

Key Concept

Bağımsız Olaylar ve Koşullu Olasılık İlişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question 12Question →

$A$ ve $B$ bağımsız kargo firmalarının kendilerine verilen birer paketi taahhüt edilen sürede teslim etme olasılıkları sırasıyla $\frac{4}{5}$ ve $\frac{3}{4}$ 'tür. Bu iki firma birer paketi teslim etmek üzere aynı anda yola çıkmıştır. Buna göre, bu paketlerden en az birinin taahhüt edilen sürede teslim edilme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{20}

\frac{7}{20}

\frac{3}{5}

\frac{11}{20}

\frac{19}{20}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{19}{20}$

Answer

Paketlerden en az birinin taahhüt edilen sürede teslim edilme olasılığı

\frac{19}{20}

'dir.

Paketlerden en az birinin süresinde teslim edilmesi olayının olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) her iki paketin de süresinde teslim edilememe olasılığının çıkarılmasıyla bulunur. A firmasının teslim edememe olasılığı

1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

, B firmasının teslim edememe olasılığı ise

1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

'tür. Firmaların teslimat süreçleri bağımsız olaylar olduğundan, her ikisinin de teslim edememe olasılığı bu iki olasılığın çarpımı olan

\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}

'dir. Buradan en az birinin teslim edilme olasılığı

1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kargo firmalarının paketleri taahhüt edilen sürede teslim edememe (başarısızlık) olasılıklarını hesaplayın.

A firmasının teslim edememe olasılığı:

P(A') = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

. B firmasının teslim edememe olasılığı:

P(B') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

.

En az bir paket teslimatının gerçekleşmesi olasılığını bulmak için tüm durumlardan her iki teslimatın da başarısız olduğu durumun çıkarılması yöntemi kolaylık sağlar.

2

Firmaların teslimat süreçleri bağımsız olduğundan, her iki paketin de teslim edilememe olasılığını çarpım kuralıyla bulun.

Her ikisinin de teslim edilememe olasılığı:

P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}

.

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

En az bir paketin teslim edilme olasılığını bulmak için elde edilen değeri tüm olasılıktan (1'den) çıkarın.

En az bir paketin teslim edilme olasılığı:

1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}

.

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.

Key Concept

Bağımsız Olayların Birlikte Gerçekleşme Olasılığı ve Tümleyen Olay Yöntemi

Question 13Question →

Bir torbada $3$ sarı ve $7$ yeşil kart bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kart sarı ise tura gelme olasılığı $\%60$ olan $A$ parası, yeşil ise tura gelme olasılığı $\%40$ olan $B$ parası havaya atılıyor. Buna göre, bu işlemin sonucunda atılan paranın tura gelme olasılığı yüzde kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 46

Answer

Atılan paranın tura gelme olasılığı %46'dır.

Toplam olasılık formülü kullanılarak, sarı kart çekilip A parasının tura gelme olasılığı (

0,3 \times 0,6 = 0,18

) ile yeşil kart çekilip B parasının tura gelme olasılığı (

0,7 \times 0,4 = 0,28

) toplanır ve sonuç 0,46 (yani %46) olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kartların çekilme olasılıklarını hesaplama

P(S) = \frac{3}{10}

ve

P(Y) = \frac{7}{10}

Hangi paranın atılacağı çekilen kartın rengine bağlıdır.

2

Kart rengine bağlı olarak tura gelme koşullu olasılıklarını belirleme

P(T|S) = 0,6

ve

P(T|Y) = 0,4

Sarı kart çekilirse A parası (%60 tura), yeşil kart çekilirse B parası (%40 tura) kullanılmaktadır.

3

Toplam olasılık formülünü kullanarak tura gelme olasılığını hesaplama

P(T) = (0,3 \times 0,6) + (0,7 \times 0,4) = 0,18 + 0,28 = 0,46

Paranın tura gelmesi olayı, kart seçimi olayına bağımlı olduğundan her iki durumun olasılıkları çarpılarak toplanır.

Key Concept

Bağımlı olayların olasılıklarının toplam olasılık formülü ile hesaplanması

Estimated Time:2m 0s

Question 14Question →

Bir tarım araştırma istasyonunda, iki farklı toprak türüne ekilen $A$ ve $B$ bitki tohumlarının çimlenme olasılıkları sırasıyla $\frac{3}{8}$ ve $p$ olarak belirlenmiştir. Bu tohumların çimlenme durumları birbirinden bağımsız olaylardır. Yapılan gözlem sonucunda bu tohumlardan en az birinin çimlendiği bilindiğine göre, her ikisinin de çimlenmiş olma olasılığı $\frac{1}{4}$ 'tür. Buna göre, $B$ tohumunun çimlenme olasılığı olan $p$ değeri en sade şekilde $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Aranan toplamın değeri 10'dur.

Verilen bağımsız olayların kesişim olasılığı

P(A \cap B) = \frac{3p}{8}

ve birleşim olasılığı

P(A \cup B) = \frac{3 + 5p}{8}

olarak hesaplanır. 'En az birinin çimlendiği bilindiğine göre her ikisinin de çimlenmiş olması' koşullu olasılığı

\frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{3p}{3+5p}

oranına eşittir. Bu oran

\frac{1}{4}

'e eşitlendiğinde

p = \frac{3}{7}

bulunur. En sade haldeki bu kesrin pay ve paydasının toplamı

3 + 7 = 10

yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

A ve B olaylarının bağımsızlığı kullanılarak kesişim ve birleşim olasılıkları

p

cinsinden ifade edilir.

P(A \cap B) = \frac{3p}{8}

ve

P(A \cup B) = \frac{3 + 5p}{8}

Bağımsız olaylarda kesişim olasılığı

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

formülüyle, birleşim olasılığı ise

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülüyle hesaplanır.

2

Koşullu olasılık tanımı uygulanır.

P(A \cap B \mid A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{3p}{3 + 5p} = \frac{1}{4}

Tohumlardan en az birinin çimlendiği bilindiğine göre her ikisinin de çimlenmiş olma olasılığı, kesişim olasılığının birleşim olasılığına oranıyla bulunur.

3

Elde edilen denklem çözülerek

p

değeri ve ardından

a + b

toplamı hesaplanır.

p = \frac{3}{7}

ve buradan

a + b = 3 + 7 = 10

\frac{3p}{3 + 5p} = \frac{1}{4}

denkleminde içler dışlar çarpımı yapıldığında

12p = 3 + 5p \implies 7p = 3 \implies p = \frac{3}{7}

elde edilir. 3 ve 7 sayıları aralarında asal olduğundan en sade biçimdeki kesrin payı

a = 3

, paydası

b = 7

alınarak toplamları 10 bulunur.

Key Concept

Bağımsız olayların kesişim ve birleşim olasılıklarının koşullu olasılık formülünde yerine yazılması.

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes