Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için f(2) = 5 ve g(2) = 2 olmak üzere, \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4 \lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x^2 - 4} = 3\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) + 3}{x - 2} limitinin değeri kaçtır?

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için f(2) = 5 ve g(2) = 2 olmak üzer… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f

g

fonksiyonları için

f(2) = 5

g(2) = 2

olmak üzere,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4

\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x^2 - 4} = 3

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) + 3}{x - 2}

limitinin değeri kaçtır?

Limit değeri 32'dir.

Soruda istenen limit ifadesinin pay kısmı, verilen limitlerin paylarındaki

f(x) - 3

g(x) + 1

ifadeleri elde edilecek şekilde düzenlenmelidir. Bu cebirsel düzenleme sonucunda limit özellikleri doğrudan uygulanabilir hale gelir.

x \to 2

için

f(x)

g(x)

limit değerleri sırasıyla

3

-1

olur. Ayrıca kare farkı açılımıyla

\lim_{x \to 2} \frac{g(x)+1}{x-2} = 12

olarak hesaplanır. Bu değerler yerlerine konduğunda limit değeri

32

bulunur.

Verilen limit ifadelerinden

f(x)

g(x)

fonksiyonlarının

x \to 2

iken limit değerlerini bulma

\lim_{x \to 2} f(x) = 3

\lim_{x \to 2} g(x) = -1

x \to 2

iken limitlerin paydaları sıfır olmaktadır. Limit değerleri birer gerçek sayı olduğuna göre,

0/0

belirsizliğinin oluşabilmesi için pay kısımlarının limitleri de sıfır olmalıdır. Buradan

\lim_{x \to 2} (f(x) - 3) = 0 \implies \lim_{x \to 2} f(x) = 3

\lim_{x \to 2} (g(x) + 1) = 0 \implies \lim_{x \to 2} g(x) = -1

elde edilir.

İkinci limit ifadesindeki payda çarpanlarına ayrılarak gerekli sadeleştirme limitinin değerini bulma

\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} = 12

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

olduğundan, verilen ikinci limit ifadesi

\lim_{x \to 2} \left( \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2} \right) = 3

şeklinde yazılabilir. Limit ��zelliklerinden,

\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 2} = 3 \implies \lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \frac{1}{4} = 3

olur. Buradan içler dışlar çarpımı ile

\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} = 12

bulunur.

İstenen limit ifadesini, elde edilen bilinen limitleri kullanacak biçimde düzenleme

\frac{f(x)g(x) + 3}{x - 2} = g(x) \cdot \frac{f(x) - 3}{x - 2} + 3 \cdot \frac{g(x) + 1}{x - 2}

İstenen ifadenin payına

3g(x)

eklenip çıkarılarak gruplandırma yapılır:

f(x)g(x) - 3g(x) + 3g(x) + 3 = g(x)(f(x) - 3) + 3(g(x) + 1)

şeklinde yazılır. Terimler paydaya bölünerek ayrı limitler halinde yazılmaya hazır hale getirilir.

Limit özelliklerini uygulayarak sonucu hesaplama

Limit değeri 32'dir.

Toplama ve çarpma limit özelliklerinden yararlanılarak limit dağıtılır:

\lim_{x \to 2} g(x) \cdot \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} + 3 \cdot \lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2}

ifadesi elde edilir. Değerler yerine yazıldığında,

(-1) \cdot 4 + 3 \cdot 12 = -4 + 36 = 32

bulunur.

Limit özellikleri ve belirsizlik durumlarının cebirsel sadeleştirme yöntemleriyle çözülmesi.

Estimated Time:2m 0s