Examkin

Question

Difficulty: EasyLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
lim⁡x→π4cos⁡(2x)cos⁡x−sin⁡x\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(2x)}{\cos x - \sin x}

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    00
  2. B
    22\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. C
    11
  4. 2\sqrt{2}Answer
  5. E
    −2-\sqrt{2}

Answer

Limitin değeri 2\sqrt{2} olarak bulunur.
Limit ifadesinde xx yerine π4\frac{\pi}{4} yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşmaktadır. Bu belirsizliği gidermek adına pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) terimi, iki kare farkı özdeşliği yardımıyla cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak (cos⁡x−sin⁡x)(\cos x - \sin x) çarpanları sadeleştirildiğinde geriye cos⁡x+sin⁡x\cos x + \sin x kalır. Elde edilen bu sadeleşmiş ifadede x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri yerine yazıldığında cos⁡(π4)+sin⁡(π4)=22+22=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Belirsizlik kontrolü yapılması
00\frac{0}{0} belirsizliği tespit edilmiştir.
x yerine π4\frac{\pi}{4} yazıldığında pay ve paydanın her ikisinin de sıfır olduğu görülür.
2
İfadeyi çarpanlarına ayırma
cos⁡(2x)=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) özdeşliği uygulanır.
Payda ile ortak olan çarpanı sadeleştirerek belirsizliği gidermek.
3
Sadeleştirme ve limit hesaplama
Limit değeri 2\sqrt{2} bulunur.
cos⁡x−sin⁡x\cos x - \sin x ifadeleri sadeleştirildikten sonra kalan ifadede x yerine π4\frac{\pi}{4} yazılır.

Key Concept

Trigonometrik limitlerde yarım açı ve iki kare farkı özdeşlikleri kullanılarak 0/0 belirsizliğinin giderilmesi.
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

More questions from this topic