f(x) = \log_{8 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1}\right) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{8 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

A
0
-1Answer
C
5
D
6
E
14

Answer

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı

-1

olmalıdır.

Logaritma tanım kuralları gereği tabanın pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi

(-2, 1) \cup (6, 8) \setminus \{7\}

olur. Bu kümedeki tam sayılar

-1

0

olup toplamları

-1

değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

Taban Koşulunun Belirlenmesi

x < 8

x \neq 7

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın pozitif ve

1

'den farklı olması gerekir. Bu durumda

8 - x > 0 \Rightarrow x < 8

8 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 7

elde edilir.

Logaritma İçinin Pozitiflik Koşulu

x \in (-2, 1) \cup (6, \infty)

Logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.

\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1} > 0

eşitsizliğinde payın kökleri

x = 6

x = -2

, paydanın kökü ise

x = 1

'dir. Kökler tabloya yerleştirilip en sağdan pozitif işaretle başlanarak işaret tablosu oluşturulduğunda çözüm aralığı

(-2, 1) \cup (6, \infty)

bulunur.

Tanım Kümelerinin Kesiştirilmesi

(-2, 1) \cup (6, 8) \setminus \{7\}

Taban koşulundan gelen

x < 8

x \neq 7

ko��ulları ile logaritma içinin pozitif olduğu

(-2, 1) \cup (6, \infty)

aralığı kesiştirilmelidir.

Tam Sayıların Belirlenmesi ve Toplanması

-1

Elde edilen tanım kümesindeki tam sayılar sadece

-1

0

'dır (çünkü

6

ile

8

arasındaki tek tam sayı olan

7

kümeden çıkarılmıştır). Bu sayıların toplamı

(-1) + 0 = -1

olarak bulunur.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için tabanın pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması koşullarını birlikte incelemek gerekir.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics