Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 yeşil bilye bulunmaktadır. Bu torbadan çekilen bilye ge… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir torbada $3$ kırmızı, $4$ mavi ve $5$ yeşil bilye bulunmaktadır. Bu torbadan çekilen bilye geri atılmaksızın art arda rastgele iki bilye çekiliyor.

Çekilen birinci bilyenin kırmızı veya ikinci bilyenin mavi olma olasılığı en sade hâliyle $\frac{a}{b}$ kesridir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Answer: 197

Answer

Doğru cevap 197'dir. İstenen olasılık değeri en sade biçimde

\frac{65}{132}

olarak hesaplanır ve bu kesrin payı ile paydasının toplamı 197'ye eşit olur.

İstenen durumun olasılığı, bağımlı olaylar kuralı ve olasılık birleşim formülü (

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

) kullanılarak en sade biçimde

\frac{65}{132}

olarak hesaplanır. Buradan pay ve paydanın toplamı

65 + 132 = 197

elde edilir.

Step-by-Step Solution

Olayları tanımlama ve birleşim formülünü yazma

P(K_1 \cup M_2) = P(K_1) + P(M_2) - P(K_1 \cap M_2)

Birinci bilyenin kırmızı (veya) ikinci bilyenin mavi olma olasılığı sorulduğu için iki olayın birleşim kümesi olasılık formülü uygulanmalıdır.

Birinci bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama

P(K_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Torbadaki toplam 12 bilyeden 3 tanesi kırmızıdır.

İkinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(M_2) = \frac{1}{3}

Bilyeler geri konulmadığı için bağımlı olaylardır. İkinci bilyenin mavi olma olasılığı, birincinin mavi olması (

P(M_1 \cap M_2) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11}

) ve birincinin mavi olmaması (

P(M_1' \cap M_2) = \frac{8}{12} \times \frac{4}{11}

) durumlarının toplamıdır.

Birinci bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(K_1 \cap M_2) = \frac{1}{11}

Çekilen bilye geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. Birincinin kırmızı gelme olasılığı

\frac{3}{12}

iken, kalan 11 bilyeden 4'ünün mavi olma olasılığı

\frac{4}{11}

olur.

Birleşim olasılığını ve

a+b

toplamını hesaplama

P(K_1 \cup M_2) = \frac{65}{132}

a+b = 197

Değerler formülde yerine yazıldığında

\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{11} = \frac{65}{132}

elde edilir.

65

132

aralarında asal olduğundan

a=65

b=132

a+b=197

bulunur.

Key Concept

Bağımlı Olaylar ve Olasılık Birleşim Kuralı

Alternative Method

İstenen durumun tümleyenini (tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak) hesaplayabiliriz. İstenmeyen durum, birinci bilyenin kırmızı OLMAMASI ve ikinci bilyenin mavi OLMAMASI durumudur. Birinci bilyenin kırmızı olmama olasılığı

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

'tür. Bu durumda ilk çekilen bilye mavi ise (olasılık

\frac{4}{12}

), geriye kalan 11 bilyeden 8'i mavi değildir. İlk çekilen yeşil ise (olasılık

\frac{5}{12}

), geriye kalan 11 bilyeden 7'i mavi değildir. Bu yolla istenmeyen durumun olasılığı

\frac{4}{12} \times \frac{8}{11} + \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{32 + 35}{132} = \frac{67}{132}

olarak bulunur. Tüm durumdan çıkardığımızda

1 - \frac{67}{132} = \frac{65}{132}

olasılığını elde ederiz.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic