Examkin

Question

Difficulty: MediumBasit Olayların Olasılığı

Bir kenarı 33 birim olan bir kare, 99 adet eş birim kareye bölünmüştür. Bu birim karelerden rastgele 33 tanesi seçilerek boyanıyor.

Buna göre, boyanan birim karelerden herhangi ikisinin ortak bir kenarının olmama olasılığı kaçtır?

  1. A
    16\frac{1}{6}
  2. 1142\frac{11}{42}Answer
  3. C
    1342\frac{13}{42}
  4. D
    27\frac{2}{7}
  5. E
    514\frac{5}{14}

Answer

Boyanan birim karelerden herhangi ikisinin ortak bir kenarının olmama olasılığı 1142\frac{11}{42}'dir.
Toplam 84 farklı seçimden, hiçbir kare çiftinin ortak kenara sahip olmadığı durum sayısı satranç tahtası renklendirme yöntemi ile analiz edilerek 22 olarak bulunur. Bu iki değerin oranı bize 1142\frac{11}{42} sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Toplam olası durum sayısını hesaplamak.
99 birim kareden 33 tanesi (93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 farklı şekilde seçilebilir.
Seçim sırası önemsiz olduğundan kombinasyon kullanılır.
2
Birim kareleri satranç tahtası desenine göre iki gruba ayırmak.
99 birim kare, satranç tahtası gibi boyandığında 55 tanesi beyaz (köşeler ve merkez), 44 tanesi gri (kenar ortaları) olur. Aynı renkteki iki karenin ortak bir kenarı olamaz.
Ortak kenara sahip olan karelerin her zaman farklı renklerde olması kuralını kullanarak durum sayımını kolaylaşt��rmak.
3
İstenen durumu sağlayan durum sayısını gruplandırarak hesaplamak.
Uygun seçimler 4 farklı durumda incelenir:
1) Seçilen 3 karenin de beyaz olması: (53)=10\binom{5}{3} = 10 durum.
2) Seçilen 3 karenin de gri olması: (43)=4\binom{4}{3} = 4 durum.
3) Seçilenlerin 2 beyaz ve 1 gri olması: Seçilen gri karenin komşu olmadığı 2 beyaz kare seçilmelidir. Her bir gri karenin 33 beyaz komşusu olduğundan, geriye kalan 22 beyaz kare tek bir şekilde seçilebilir. 4×(22)=44 \times \binom{2}{2} = 4 durum.
4) Seçilenlerin 1 beyaz ve 2 gri olması: Seçilen beyaz karenin komşu olmadığı 2 gri kare seçilmelidir. Merkez kare seçilirse tüm gri karelerle komşu olduğundan 00 durum gelir. Köşelerdeki 44 beyaz kareden biri seçilirse, komşusu olmayan 22 gri kare tek şekilde seçilebilir. 4×(22)=44 \times \binom{2}{2} = 4 durum.

Toplam uygun durum sayısı: 10+4+4+4=2210 + 4 + 4 + 4 = 22 olur.
Tüm olasılıkları eksiksiz ve çakışmasız şekilde saymak.
4
Olasılık değerini bulmak.
Olasılık = I˙stenen DurumTu¨m Durum=2284=1142\frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Tüm Durum}} = \frac{22}{84} = \frac{11}{42} bulunur.
Basit olayların olasılık formülü uygulanır.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı ve Kombinasyon ile Sayma
Rate this question

Topics

Basit Olayların Olasılığı

More questions from this topic