Examkin

Question

Difficulty: HardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−3x2+5x−2f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2
eğrisinin A(1,f(1))A(1, f(1)) noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=−x2+bx−5g(x) = -x^2 + bx - 5
parabolüne BB noktasında teğettir.

Buna göre, b>0b > 0 olmak üzere, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklığın karesi kaçtır?

Answer: 5

Answer

A(1, 1) ve B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi 5'tir.
f(x) eğrisine x = 1 noktasında teğet olan doğru y = 2x - 1 doğrusudur. Bu doğrunun g(x) = -x^2 + bx - 5 parabolüne teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen b = 6 (b > 0 şartıyla) değeri için teğet noktası B(2, 3) olarak bulunur. A(1, 1) ile B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi ise 5 birimkare çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
A noktasının koordinatlarının belirlenmesi
A(1, 1)
Teğet doğrusunun değme noktasının y-koordinatını bulmak için f(1) hesaplanır.
2
Teğet doğrusunun eğiminin bulunması
m = 2
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki birinci türevi, o noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.
3
Teğet doğrusunun denkleminin kurulması
y = 2x - 1
Eğimi 2 olan ve A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi yazılır.
4
g(x) parabolü ile doğrunun teğetlik durumunun incelenmesi
b = 6
Doğru ile parabolün ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalıdır, bu yüzden diskriminant sıfıra eşitlenir. Pozitif b değeri seçilir.
5
Teğet noktası B'nin koordinatlarının bulunması
B(2, 3)
Ortak çözüm denkleminin kökü olan x = 2 değeri teğet doğrusunda yerine yazılarak y-koordinatı belirlenir.
6
Noktalar arasındaki uzaklığın karesinin hesaplanması
5
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak |AB|^2 değeri bulunur.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ise ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.

Alternative Method

Teğet noktası B(x₀, y₀) noktasındaki türev yardımıyla da çözülebilir. g'(x) = -2x + b olup B noktasındaki teğet eğimi 2 olmalıdır. Buradan -2x₀ + b = 2 ve b = 2x₀ + 2 yazılır. B noktası hem parabolün hem de y = 2x - 1 doğrusunun üzerinde olduğundan, -x₀² + (2x₀ + 2)x₀ - 5 = 2x₀ - 1 denklemi elde edilir. Düzenlendiğinde x₀² = 4 bulunur. b > 0 olması için b = 2x₀ + 2 ifadesinden x₀ = 2 olmalıdır. Buradan B(2, 3) noktasına doğrudan ulaşılır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic