Dik koordinat düzleminde, köşeleri A(0, 3), B(0, 0), C(4, 0) ve D(4, 3) noktaları olan bir… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, köşeleri $A(0, 3)$ , $B(0, 0)$ , $C(4, 0)$ ve $D(4, 3)$ noktaları olan bir dikd��rtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin sınırları üzerinde veya iç bölgesinde bulunan ve her iki koordinatı da tam sayı olan tüm noktalardan rastgele biri seçiliyor.

Buna göre, seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla $3$ birim olma olasılığı kaçtır?

A
\dfrac{2}{5}
B
\dfrac{9}{20}
C
\dfrac{1}{2}
\dfrac{11}{20}Answer
E
\dfrac{3}{5}

Answer

Seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 3 birim olma olasılığı 11/20'dir.

Seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 3 birim olma koşulu, x² + y² ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan 11 noktanın bulunması ve toplam nokta sayısının 20 olması nedeniyle 11/20 olasılık değerini verir.

Step-by-Step Solution

Örnek uzayı belirleme

Dikdörtgenin sınırları ve içindeki tam sayı koordinatlı noktaların kümesi S = {(x, y) | x ∈ {0,1,2,3,4} ve y ∈ {0,1,2,3}} şeklindedir. Toplam nokta sayısı s(S) = 5 × 4 = 20'dir.

Olasılık hesabında tüm olası durumların sayısını bulmak için örnek uzayın eleman sayısını belirlememiz gerekir.

Koşulu matematiksel olarak ifade etme

Bir (x, y) noktasının orijine (0,0) olan uzaklığı d = √(x² + y²) formülüyle hesaplanır. d ≤ 3 koşulu, x² + y² ≤ 9 eşitsizliğine denktir.

İstenen olaya ait noktaları tespit edebilmek için uzaklık sınırını bir eşitsizlik olarak yazarız.

Koşulu sağlayan noktaları belirleme

x değerlerine göre eşitsizliği sağlayan y tam sayılarını bulalım:
- x = 0 için: y² ≤ 9 ⇒ y ∈ {0, 1, 2, 3} (4 nokta)
- x = 1 için: 1 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 8 ⇒ y ∈ {0, 1, 2} (3 nokta)
- x = 2 için: 4 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 5 ⇒ y ∈ {0, 1, 2} (3 nokta)
- x = 3 için: 9 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 0 ⇒ y = 0 (1 nokta)
- x = 4 için: 16 + y² ≤ 9 sağlanamaz (0 nokta)
Toplamda istenen koşulu sağlayan 11 nokta vardır.

İstenen olayın eleman sayısını bulmak için tüm olası x değerleri için eşitsizliği sağlayan y değerlerini tek tek inceleriz.

Olasılığı hesaplama

Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durumların Sayısı) = 11 / 20

Basit olayların olasılığı formülünü uygulayarak sonucu buluruz.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı ve Koordinat Düzleminde Nokta Sayma

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic