Examkin

Question

Difficulty: MediumBasit Olayların Olasılığı

Düzgün bir altıgenin köşeleri olan 6 noktadan rastgele 3 tanesi seçilerek köşeleri bu noktalar olan bir üçgen oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu üçgenin bir dik üçgen olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    13\dfrac{1}{3}
  2. B
    310\dfrac{3}{10}
  3. 35\dfrac{3}{5}Answer
  4. D
    23\dfrac{2}{3}
  5. E
    110\dfrac{1}{10}

Answer

Oluşturulan üçgenin dik üçgen olma olasılığı 3/5'tir.
Düzgün altıgenin köşelerinden seçilen 3 nokta ile oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı (63)=20\binom{6}{3} = 20'dir. Bir dik üçgen oluşturabilmek için seçilen noktalardan ikisinin altıgenin merkezinden geçen bir ana köşegen (çap) olması gerekir. Altıgende 3 adet ana köşegen bulunur ve her ana köşegen için geriye kalan 4 köşeden biri seçilerek dik açılı köşe oluşturulur. Bu şekilde 3×4=123 \times 4 = 12 farklı dik üçgen elde edilir. İstenen olasılık ise 1220=35\frac{12}{20} = \frac{3}{5} olur.

Step-by-Step Solution

1
Tüm olası üçgenlerin sayısını (örnek uzayın eleman sayısını) hesaplamak.
(63)=20\dbinom{6}{3} = 20
Düzgün altıgenin 6 köşesinden herhangi 3 tanesi seçilerek bir üçgen oluşturulmaktadır. Köşelerden herhangi üçü doğrusal olmadığından her seçim bir üçgen belirtir.
2
İstenen durum olan dik üçgenlerin sayısını belirlemek.
12
Düzgün altıgenin köşelerinden seçilen üç noktanın bir dik üçgen oluşturması için, bu noktalardan ikisinin altıgenin çevrel çemberinin çapı (yani altıgenin ana köşegeni) olması gerekir. Altıgende 3 adet ana köşegen vardır. Her bir köşegen için kalan 4 köşeden herhangi biri seçildiğinde bir dik üçgen oluşur. Dolayısıyla 3×4=123 \times 4 = 12 tane dik üçgen vardır.
3
İstenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlayarak olasılığı bulmak.
1220=35\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}
Basit bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının örnek uzayın eleman sayısına oranıdır.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı

Alternative Method

İlk nokta rastgele seçildikten sonra, ikinci noktanın bu noktanın karşısındaki köşe (ana köşegen) olma olasılığı 15\frac{1}{5}'tir. Bu durumda, üçüncü nokta ne seçilirse seçilsin (kalan 4 noktadan biri) dik üçgen oluşur. Buradan gelen olasılık 15×1=15\frac{1}{5} \times 1 = \frac{1}{5} olur. İkinci noktanın karşısındaki köşe olmama olasılığı 45\frac{4}{5}'tir. Bu durumda dik üçgen oluşması için üçüncü noktanın, ilk iki noktadan birinin karşısındaki köşe olması gerekir. Kalan 4 noktadan bu şartı sağlayan 2 nokta olduğundan olasılık 24=12\frac{2}{4} = \frac{1}{2} olur. Buradan gelen olasılık 45×12=25\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} olur. Toplam olasılık: 15+25=35\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Basit Olayların Olasılığı

More questions from this topic