Examkin

Question

Difficulty: MediumDeğişken Değiştirme Yöntemi
∫0112x2(x3+1)3 dx\int_{0}^{1} 12x^2 (x^3 + 1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1
  2. B
    3
  3. C
    -1
  4. D
    45
  5. 15Answer

Answer

15
Dönüşüm sonrasında integral sınırları 1 ve 2 olarak güncellenir. İntegral içi ise 4u³ du ifadesine eşit olur. Bu ifadenin integrali alındığında u⁴ elde edilir ve sınırlar yerine konulduğunda 16 - 1 = 15 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme dönüşümünü belirleme
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir. Buradan 12x2 dx=4 du12x^2 \, dx = 4 \, du bulunur.
İntegrali daha basit bir biçimde ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=0x = 0 yazıldığında u=03+1=1u = 0^3 + 1 = 1 elde edilir. Üst sınır için x=1x = 1 yaz��ldığında u=13+1=2u = 1^3 + 1 = 2 elde edilir.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Yeni integrali oluşturma ve hesaplama
∫124u3 du=[u4]12=24−14=16−1=15\int_{1}^{2} 4u^3 \, du = \left[ u^4 \right]_{1}^{2} = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 olarak bulunur.
Elde edilen yeni integral u değişkenine göre entegre edilerek belirli integral kurallarına göre hesaplanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi kullanılarak sınırların güncellenmesi ve integralin hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic