\int_{0}^{2} 2x(x^2+1)^3 \, dx integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{0}^{2} 2x(x^2+1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

İntegralin değeri 156 olarak bulunur.

İntegral,

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılarak

1

ile

5

sınırları arasında

u^3

integraline dönüştürülür. Bu integral hesaplandığında doğru değer olan 156 elde edilir.

Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.

u = x^2 + 1

olsun. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

elde edilir.

İntegralin içindeki

2x \, dx

ifadesini

du

cinsinden yazmak için.

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 0

iken

u = 0^2 + 1 = 1

olur. Üst sınır için

x = 2

iken

u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.

Yeni değişkene göre integral kurulur ve hesaplanır.

\int_{1}^{5} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625 - 1}{4} = 156

elde edilir.

Basit üs integrali kuralı uygulanarak belirli integralin sonucuna ulaşmak için.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Estimated Time:2m 0s

Question