Examkin

Değişken Değiştirme Yöntemi

64 questions

Question 1Question →
∫01(2x+1)(x2+x+1)2 dx\int_{0}^{1} (2x + 1)(x^2 + x + 1)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 263\frac{26}{3}

Answer

İntegralin doğru değeri 263\frac{26}{3} olarak bulunur.
Doğru cevap olan 263\frac{26}{3} değeri, u=x2+x+1u = x^2 + x + 1 dönüşümü yapılarak sınırların 11 ve 33 olarak güncellenmesi ve integralin kurallara uygun olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x2+x+1u = x^2 + x + 1 dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=(2x+1) dxdu = (2x + 1) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki (2x+1) dx(2x + 1) \, dx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+0+1=1x = 0 \implies u = 0^2 + 0 + 1 = 1
Üst sınır için: x=1  ⟹  u=12+1+1=3x = 1 \implies u = 1^2 + 1 + 1 = 3
İntegral değişkeni xx yerine uu olduğunda, sınırların da uu değişkenine uygun hale getirilmesi gerekir.
3
Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
∫13u2 du=[u33]13=333−133=9−13=263\int_{1}^{3} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralı uygulanır ve sınırlar yerine yazılır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Question 2Question →
∫0112x2(x3+1)3 dx\int_{0}^{1} 12x^2 (x^3 + 1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15
Dönüşüm sonrasında integral sınırları 1 ve 2 olarak güncellenir. İntegral içi ise 4u³ du ifadesine eşit olur. Bu ifadenin integrali alındığında u⁴ elde edilir ve sınırlar yerine konulduğunda 16 - 1 = 15 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme dönüşümünü belirleme
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir. Buradan 12x2 dx=4 du12x^2 \, dx = 4 \, du bulunur.
İntegrali daha basit bir biçimde ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=0x = 0 yazıldığında u=03+1=1u = 0^3 + 1 = 1 elde edilir. Üst sınır için x=1x = 1 yaz��ldığında u=13+1=2u = 1^3 + 1 = 2 elde edilir.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Yeni integrali oluşturma ve hesaplama
∫124u3 du=[u4]12=24−14=16−1=15\int_{1}^{2} 4u^3 \, du = \left[ u^4 \right]_{1}^{2} = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 olarak bulunur.
Elde edilen yeni integral u değişkenine göre entegre edilerek belirli integral kurallarına göre hesaplanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi kullanılarak sınırların güncellenmesi ve integralin hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 3Question →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13x⋅f(x2+1) dx=40\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 40
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
∫23f(8x−14) dx\int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İntegralin doğru değeri 10'dur.
Değişken değiştirme yöntemi adımları doğru uygulandığında, birinci integralden ∫210f(x) dx=80\int_{2}^{10} f(x) \, dx = 80 elde edilir. İkinci integralde yapılan dönüşüm ve sınır güncellemesiyle aranan değer 18∫210f(t) dt\frac{1}{8} \int_{2}^{10} f(t) \, dt olarak bulunur. Bu değer ise 10 olur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci integralde değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=x2+1  ⟹  du=2x dx  ⟹  x dx=du2u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içindeki x⋅f(x2+1)x \cdot f(x^2 + 1) ifadesini sadeleştirmek ve değişkeni değiştirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Birinci integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 ve x=3  ⟹  u=32+1=10x = 3 \implies u = 3^2 + 1 = 10 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Birinci integral yeni değişken cinsinden yazılarak değeri hesaplanır.
∫210f(u)⋅du2=40  ⟹  ∫210f(u) du=80\int_{2}^{10} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 40 \implies \int_{2}^{10} f(u) \, du = 80 bulunur.
İkinci integralde kullanılabilecek ∫210f(x) dx\int_{2}^{10} f(x) \, dx integralinin değerini elde etmek için bu işlem gerçekleştirilir.
4
İkinci integralde uygun değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
t=8x−14  ⟹  dt=8 dx  ⟹  dx=dt8t = 8x - 14 \implies dt = 8 \, dx \implies dx = \frac{dt}{8} elde edilir.
İkinci integrali bilinen integral biçimine dönüştürmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.
5
İkinci integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=2  ⟹  t=8(2)−14=2x = 2 \implies t = 8(2) - 14 = 2 ve x=3  ⟹  t=8(3)−14=10x = 3 \implies t = 8(3) - 14 = 10 olur.
İkinci integralin sınırlarını tt değişkenine göre ayarlamak için sınırlar güncellenir.
6
İkinci integral yeni değişken cinsinden yazılır ve birinci adımdan elde edilen değer yerine konarak sonuç bulunur.
∫23f(8x−14) dx=∫210f(t)⋅dt8=18∫210f(t) dt=808=10\int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx = \int_{2}^{10} f(t) \cdot \frac{dt}{8} = \frac{1}{8} \int_{2}^{10} f(t) \, dt = \frac{80}{8} = 10 bulunur.
İntegralin nihai değerini hesaplamak için bu adımlar tamamlanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Estimated Time:2m 0s
Question 4Question →
∫022x(x2+1)3 dx\int_{0}^{2} 2x(x^2+1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 156

Answer

İntegralin değeri 156 olarak bulunur.
İntegral, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılarak 11 ile 55 sınırları arasında u3u^3 integraline dönüştürülür. Bu integral hesaplandığında doğru değer olan 156 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=x2+1u = x^2 + 1 olsun. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir.
İntegralin içindeki 2x dx2x \, dx ifadesini dudu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0x = 0 iken u=02+1=1u = 0^2 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2x = 2 iken u=22+1=5u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Yeni değişkene göre integral kurulur ve hesaplanır.
∫15u3 du=[u44]15=544−144=625−14=156\int_{1}^{5} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625 - 1}{4} = 156 elde edilir.
Basit üs integrali kuralı uygulanarak belirli integralin sonucuna ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Estimated Time:2m 0s
Question 5Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫03f(x) dx=12\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 12
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
∫12f(x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(x+1) \, dx = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(2−x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2 - x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 52\frac{5}{2}

Answer

Beş bölü iki
Verilen integrallerde gerekli değişken değiştirmeler yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde ∫01f(x) dx=5\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 değeri elde edilir. Sorulan integralde u=2−x2u = 2 - x^2 dönüşümü uygulandığında integral 12∫01f(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesine eşit olur. Bu değer de beş bölü ikiye eşittir.

Step-by-Step Solution

1
∫12f(x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(x+1) \, dx = 3 integralinde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫23f(u) du=3\int_{2}^{3} f(u) \, du = 3 elde edilir.
u=x+1u = x+1 dönüşümü için du=dxdu = dx olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=3u=3 olarak güncellenir.
2
Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılarak ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx değeri bulunur.
∫01f(x) dx=5\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 olur.
∫03f(x) dx=∫01f(x) dx+∫12f(x) dx+∫23f(x) dx\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx yazılabilir. Verilen değerler yerine konduğunda 12=∫01f(x) dx+4+3  ⟹  ∫01f(x) dx=512 = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + 4 + 3 \implies \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 bulunur.
3
İstenen integralde değişken değiştirme uygulanır.
12∫01f(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesi elde edilir.
u=2−x2u = 2 - x^2 dönüşümü yapılırsa du=−2x dx  ⟹  x dx=−12 dudu = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=1u=1 ve x=2x=\sqrt{2} için u=0u=0 olur. Buradan ∫10f(u)(−12)du=12∫01f(u) du\int_{1}^{0} f(u) \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du elde edilir.
4
Ende edilen son ifadede ∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du değeri yerine yazılır.
52\frac{5}{2} bulunur.
12∫01f(u) du=12⋅5=52\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} olur.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
Question 6Question →
∫24f(x−3) dx\int_{2}^{4} f(x - 3) \, dx

belirli integrali veriliyor.

Buna göre, bu integralde u=x−3u = x - 3 dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Show answer & explanation

Answer: ∫−11f(u) du\int_{-1}^{1} f(u) \, du

Answer

∫−11f(u) du\int_{-1}^{1} f(u) \, du
Verilen integralde u=x−3u = x - 3 dönüşümü yapıldığında du=dxdu = dx olur. Alt sınır olan x=2x = 2 için u=−1u = -1, üst sınır olan x=4x = 4 için u=1u = 1 elde edilir. Bu değerler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi sınırları −1-1 ve 11 olacak şekilde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma
u=x−3u = x - 3 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=dxdu = dx elde edilir.
İntegraldeki dxdx terimini dudu cinsinden yazmak için diferansiyel alınmalıdır.
2
İntegral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=2  ⟹  u=2−3=−1x = 2 \implies u = 2 - 3 = -1 ve üst sınır için x=4  ⟹  u=4−3=1x = 4 \implies u = 4 - 3 = 1 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Elde edilen ifadeleri orijinal integralde yerine yazma
∫24f(x−3) dx=∫−11f(u) du\int_{2}^{4} f(x - 3) \, dx = \int_{-1}^{1} f(u) \, du elde edilir.
Yeni değişken uu, diferansiyel dudu ve yeni sınırlar yerleştirilerek dönüşüm tamamlanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisinin kurulması.
Question 7Question →
∫ee2ln⁡(x)⋅ln⁡(ln⁡(x))+1xln⁡(x) dx\int_{e}^{e^2} \frac{\ln(x) \cdot \ln(\ln(x)) + 1}{x \ln(x)} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: ln⁡(8)−1\ln(8) - 1

Answer

ln⁡(8)−1\ln(8) - 1
Doğru yanıt olan değer, u=ln⁡(x)u = \ln(x) dönüşümüyle elde edilen ∫12(ln⁡(u)+1/u) du\int_{1}^{2} (\ln(u) + 1/u) \, du integralinin adım adım çözülmesi ve sınırların 11 ve 22 olarak doğru uygulanması sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İntegrali sadeleştirmek için u=ln⁡(x)u = \ln(x) değişken değiştirmesini uygulayın.
u=ln⁡(x)u = \ln(x) ise diferansiyel alırsak du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur.
İntegral içindeki ln⁡(x)\ln(x) ve 1x\frac{1}{x} ifadeleri arasındaki türev ilişkisini kullanarak integrali daha basit bir forma dönüştürmek.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır: x=e⇒u=ln⁡(e)=1x = e \Rightarrow u = \ln(e) = 1. Üst sınır: x=e2⇒u=ln⁡(e2)=2x = e^2 \Rightarrow u = \ln(e^2) = 2.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni integrali uu cinsinden yazın ve sadeleştirin.
∫12u⋅ln⁡(u)+1u du=∫12(ln⁡(u)+1u) du\int_{1}^{2} \frac{u \cdot \ln(u) + 1}{u} \, du = \int_{1}^{2} \left(\ln(u) + \frac{1}{u}\right) \, du
Payı paydaya bölerek integrali alınabilir iki basit terimin toplamı şeklinde yazmak.
4
Her bir terimin integralini alarak antiderivatifini bulun.
∫ln⁡(u) du=uln⁡(u)−u\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u ve ∫1u du=ln⁡(u)\int \frac{1}{u} \, du = \ln(u). Birleştirildiğinde: F(u)=uln⁡(u)−u+ln⁡(u)F(u) = u \ln(u) - u + \ln(u) olur.
Temel integral alma kurallarını uygulayarak integralin belirsiz formunu bulmak.
5
Sınır değerlerini yerine yazarak belirli integralin sonucunu hesaplayın.
F(2)−F(1)=(2ln⁡(2)−2+ln⁡(2))−(1ln⁡(1)−1+ln⁡(1))=(3ln⁡(2)−2)−(−1)=3ln⁡(2)−1=ln⁡(8)−1F(2) - F(1) = (2 \ln(2) - 2 + \ln(2)) - (1 \ln(1) - 1 + \ln(1)) = (3 \ln(2) - 2) - (-1) = 3 \ln(2) - 1 = \ln(8) - 1
Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integralin sayısal değerini bulmak.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir. Ayrıca ∫ln⁡(u) du=uln⁡(u)−u+C\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u + C temel integral formülü kullanılır.
Question 8Question →

Bir ff fonksiyonu için

∫12x⋅f(x2+1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx

belirli integrali veriliyor. Bu integralde u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Show answer & explanation

Answer: 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

Answer

12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du
Doğrulanan dönüşümde, u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesi yapıldığında sınırlar x=1x = 1 için u=2u = 2 ve x=2x = 2 için u=5u = 5 olur. Ayrıca x dxx \, dx ifadesi 12 du\frac{1}{2} \, du haline gelir. Bu iki durum birleştirildiğinde integral 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma
u=x2+1  ⟹  du=2x dx  ⟹  x dx=du2u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x dxx \, dx terimini yeni değişken cinsinden yazabilmek için her iki tarafın diferansiyeli hesaplanır.
2
Belirli integral sınırlarını yeni değişkene göre güncelleme
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2; üst sınır için x=2  ⟹  u=22+1=5x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Dönüşümleri integralde yerine yazıp yeni integral ifadesini elde etme
∫12f(x2+1)⋅(x dx)=∫25f(u)⋅du2=12∫25f(u) du\int_{1}^{2} f(x^2 + 1) \cdot (x \, dx) = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du
Elde edilen yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yerleştirilerek sadeleştirilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel (dudu) katsayısının doğru hesaplanması.
Question 9Question →
∫13f(2x+3) dx\int_{1}^{3} f(2x + 3) \, dx

belirli integrali veriliyor.

Buna göre, bu integralde u=2x+3u = 2x + 3 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Show answer & explanation

Answer: 12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du

Answer

12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du
Dönüşüm kuralları gereği, u=2x+3u = 2x + 3 seçildiğinde diferansiyel dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise alt sınır için 2(1)+3=52(1)+3=5, üst sınır için 2(3)+3=92(3)+3=9 olarak güncellenir. Bu değerler integralde yerine yazıldığında integralin eş değer hali 12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
u=2x+3u = 2x + 3 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
x=1x = 1 alt sınırı için u=2(1)+3=5u = 2(1) + 3 = 5 ve x=3x = 3 üst sınırı için u=2(3)+3=9u = 2(3) + 3 = 9 olur.
Değişken değiştirme yöntemi uygulandığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.
∫13f(2x+3) dx=∫59f(u)⋅du2=12∫59f(u) du\int_{1}^{3} f(2x + 3) \, dx = \int_{5}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du elde edilir.
Değişken değiştirme işlemini tamamlayıp integralin yeni halini yazmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Estimated Time:1m 0s
Question 10Question →
∫01(3x+1)4 dx\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx

belirli integralinde u=3x+1u = 3x + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Show answer & explanation

Answer: 13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du

Answer

13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du
Doğru seçenekte integral sınırları alt sınır için 3(0)+1=13(0)+1=1 ve üst sınır için 3(1)+1=43(1)+1=4 olarak güncellenmiş ve diferansiyel ifadesi dx=du3dx = \frac{du}{3} şeklinde doğru yazılarak integralin dışına 13\frac{1}{3} çarpanı getirilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Diferansiyel hesabı yapılır.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden ifade etmek için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
2
İntegral sınırları güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=3(0)+1=1x = 0 \implies u = 3(0) + 1 = 1 ve üst sınır için x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması gerekir.
3
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır.
∫01(3x+1)4 dx=∫14u4⋅du3=13∫14u4 du\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx = \int_{1}^{4} u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du elde edilir.
Tüm terimler yeni uu değişkenine göre düzenlenerek integral yeniden yazılır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) yeni değişken cinsinden yazılmalı hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Question 11Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2) dx+∫12f(5−2x) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{1}^{2} f(5 - 2x) \, dx = 10
ve
∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 83\frac{8}{3}

Answer

Doğru cevap 83\frac{8}{3} değeridir.
Doğru değer olan 83\frac{8}{3}, her bir integral terimine sırasıyla uygun değişken değiştirmeleri uygulanıp sınırlar güncellendikten ve elde edilen doğrusal denklem sistemi çözüldükten sonra elde edilen değerdir.

Step-by-Step Solution

1
İlk integral teriminde u=x2u = x^2 dönüşümü yapılır.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 olur. Bu durumda terim 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali daha basit bir formda ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
İkinci integral teriminde v=5−2xv = 5 - 2x dönüşümü yapılır.
dv=−2 dx  ⟹  dx=−dv2dv = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  v=3x = 1 \implies v = 3 ve x=2  ⟹  v=1x = 2 \implies v = 1 olur. Bu durumda terim ∫31f(v)(−dv2)=12∫13f(v) dv\int_{3}^{1} f(v) \left(-\frac{dv}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(v) \, dv haline gelir.
İkinci terimi de tek değişkenli integral biçiminde ifade edebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
3
Dönüşümler ilk denklemde yerine yazılır ve denklem düzenlenir.
12∫14f(x) dx+12∫13f(x) dx=10  ⟹  ∫14f(x) dx+∫13f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 elde edilir.
Denklemdeki katsayıları sadeleştirerek integraller arasındaki doğrusal bağıntı bulunur.
4
Belirli integralin parçalama özelliği ve verilen ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bilgisi kullanılarak denklem sistemi çözülür.
∫14f(x) dx=∫13f(x) dx+∫34f(x) dx=∫13f(x) dx+4\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4 yazılır. Bu ifade ortak denklemde yerine yazıldığında: (∫13f(x) dx+4)+∫13f(x) dx=20  ⟹  2∫13f(x) dx=16  ⟹  ∫13f(x) dx=8\left(\int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4\right) + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 \implies 2\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 16 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 bulunur.
Sistemdeki bilinmeyen integral değerleri belirlenir.
5
Sorulan ∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx integralinde w=x3+2w = x^3 + 2 dönüşümü yapılır.
dw=3x2 dx  ⟹  x2 dx=dw3dw = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{dw}{3} olur. Sınırlar: x=−1  ⟹  w=1x = -1 \implies w = 1 ve x=1  ⟹  w=3x = 1 \implies w = 3 olur. İntegral 13∫13f(w) dw=13⋅8=83\frac{1}{3} \int_{1}^{3} f(w) \, dw = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3} olarak hesaplanır.
Hedef integral ifadesi değişken değiştirme ile hesaplanabilir hale getirilir.

Key Concept

Değişken Değiştirme Yöntemi

Alternative Method

Alternatif olarak, dönüşüm formüllerini açıkça yazmak yerine diferansiyel terimlerini doğrudan içeriye taşıyarak (x dx=12d(x2)x \, dx = \frac{1}{2} d(x^2) ve dx=−12d(5−2x)dx = -\frac{1}{2} d(5-2x) vb.) integral doğrudan diferansiyel formunda da düzenlenebilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 12Question →
∫12x(x2−1)3 dx\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 818\frac{81}{8}

Answer

İntegralin doğru değeri 81/8'dir.
u=x2−1u = x^2 - 1 dönüşümü yapıldığında du=2x dxdu = 2x \, dx olur ve buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. Sınırlar x=1x = 1 için u=0u = 0 ve x=2x = 2 için u=3u = 3 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫03u3 du\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^3 \, du haline gelir ve hesaplandığında 818\frac{81}{8} sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme için dönüşüm tanımlanır ve diferansiyel hesabı yapılır.
u=x2−1u = x^2 - 1 ve du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x(x2−1)3 dxx(x^2 - 1)^3 \, dx ifadesini uu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12−1=0x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0, üst sınır için x=2  ⟹  u=22−1=3x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3
İntegral değişkeni xx'ten uu'ya geçtiği için sınırların da uu değişkeninin aldığı değerlerle değiştirilmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral hesaplanır.
∫03u3du2=12[u44]03=12(814−0)=818\int_{0}^{3} u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{81}{4} - 0 \right) = \frac{81}{8}
Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralları uygulanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integralin içi hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Question 13Question →
∫12(3x−2)2 dx\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 77

Answer

Belirli integralin değeri 7'dir.
Doğru seçenekte verilen değer, u=3x−2u = 3x - 2 dönüşümü yapılarak sınırların u=1u=1 ve u=4u=4 olarak güncellenmesi ve dx=du3dx = \frac{du}{3} diferansiyeli kullanılarak integralin 13∫14u2 du=7\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^2 \, du = 7 olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=3x−2u = 3x - 2 dönüşümü yapılır.
Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=3 dxdu = 3 \, dx ve buradan dx=du3dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegrali daha kolay hesaplanabilir bir değişkene dönüştürmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=3(1)−2=1x = 1 \implies u = 3(1) - 2 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=3(2)−2=4x = 2 \implies u = 3(2) - 2 = 4 olur.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.
3
Yeni değişken ve sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫12(3x−2)2 dx=∫14u2⋅du3=13[u33]14=19(43−13)=639=7\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx = \int_{1}^{4} u^2 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{9} (4^3 - 1^3) = \frac{63}{9} = 7 elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru yazılması gerekir.
Estimated Time:1m 30s
Question 14Question →
∫023x2(x3+1)2 dx\int_{0}^{2} 3x^2 (x^3 + 1)^2 \, dx belirli integralinde u=x3+1u = x^3 + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Show answer & explanation

Answer: ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du

Answer

∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du ifadesidir.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx olur. İntegralin sınırları ise alt sınır için x=0  ⟹  u=1x = 0 \implies u = 1 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=9x = 2 \implies u = 9 şeklinde güncellenir. Bu dönüşümler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du olur.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme bağıntısını belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü için du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir.
İntegral içindeki x'e bağlı ifadeleri ve diferansiyeli u cinsinden yazmak için.
2
İntegralin belirli sınırlarını yeni u değişkenine göre hesaplayıp güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=03+1=1x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=23+1=9x = 2 \implies u = 2^3 + 1 = 9 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınır değerlerinin de yeni değişkene uygun hale getirilmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyel dönüşümünü integralde yerine yazarak yeni integrali oluşturunuz.
∫02(x3+1)2⋅(3x2 dx)=∫19u2 du\int_{0}^{2} (x^3 + 1)^2 \cdot (3x^2 \, dx) = \int_{1}^{9} u^2 \, du elde edilir.
Tüm dönüşüm adımlarını birleştirerek u değişkenine bağlı eşdeğer belirli integrali yazmak için.

Key Concept

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Estimated Time:1m 30s
Question 15Question →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫12f(x2) dx=8\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
∫0π/2sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2f(11+cos⁡2x) dx+∫ee21xln⁡2xf(1ln⁡x) dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İntegraller sırasıyla değişken değiştirme yöntemiyle sadeleştirildiğinde toplamın sonucu 8 olarak bulunur.
Verilen integralde yapılan değişken değiştirme ile temel integralin değeri 4 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki her iki integral de uygun trigonometrik ve logaritmik dönüşümler yardımıyla aynı sınırlara sahip integrallere indirgenir ve her birinin değeri 4 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı 8 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ilk integralde değişken değiştirme uygulanması
∫1/21f(w) dw=4\int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4
∫12f(x2) dx=8\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8 ifadesinde w=x2w = \frac{x}{2} dönüşümü yapılırsa dw=dx2  ⟹  dx=2 dwdw = \frac{dx}{2} \implies dx = 2 \, dw olur. Sınırlar x=1  ⟹  w=1/2x = 1 \implies w = 1/2 ve x=2  ⟹  w=1x = 2 \implies w = 1 olur. Buradan 2∫1/21f(w) dw=8  ⟹  ∫1/21f(w) dw=42 \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 8 \implies \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4 elde edilir.
2
Sorulan ifadedeki trigonometrik integralin hesaplanması
∫1/21f(u) du=4\int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4
I1=∫0π/2sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2f(11+cos⁡2x) dxI_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx integralinde u=11+cos⁡2x=(1+cos⁡2x)−1u = \frac{1}{1 + \cos^2 x} = (1 + \cos^2 x)^{-1} dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında du=−(1+cos⁡2x)−2⋅2cos⁡x⋅(−sin⁡x) dx=sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2 dxdu = -(1 + \cos^2 x)^{-2} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} \, dx olur. Sınırlar x=0  ⟹  u=1/2x = 0 \implies u = 1/2 ve x=π/2  ⟹  u=1x = \pi/2 \implies u = 1 olarak güncellenir. Böylece I1=∫1/21f(u) du=4I_1 = \int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4 bulunur.
3
Sorulan ifadedeki logaritmik integralin hesaplanması
∫1/21f(v) dv=4\int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4
I2=∫ee21xln⁡2xf(1ln⁡x) dxI_2 = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx integralinde v=1ln⁡x=(ln⁡x)−1v = \frac{1}{\ln x} = (\ln x)^{-1} dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında dv=−(ln⁡x)−2⋅1x dx=−1xln⁡2x dx  ⟹  1xln⁡2x dx=−dvdv = -(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{x \ln^2 x} \, dx \implies \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx = -dv olur. Sınırlar x=e  ⟹  v=1x = e \implies v = 1 ve x=e2  ⟹  v=1/2x = e^2 \implies v = 1/2 olur. Buradan I2=∫11/2f(v) (−dv)=∫1/21f(v) dv=4I_2 = \int_{1}^{1/2} f(v) \, (-dv) = \int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4 elde edilir.
4
Elde edilen integral değerlerinin toplanması
I1+I2=4+4=8I_1 + I_2 = 4 + 4 = 8
Her iki integralin de değeri 4 olarak hesaplandığından, toplam ifadenin değeri 8 olur.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel katsayılarının doğru güncellenmesi.
Estimated Time:3m 0s
Question 16Question →
∫0π/2cos⁡(x)⋅f(sin⁡(x)) dx\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \cdot f(\sin(x)) \, dx belirli integralinde u=sin⁡(x)u = \sin(x) değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Show answer & explanation

Answer: ∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du

Answer

∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesi
Doğru seçenekte belirtilen integral, u=sin⁡(x)u = \sin(x) dönüşümüyle elde edilen sınırların (00 ve 11) ve diferansiyelin (du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx) doğru şekilde yerleştirilmesiyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dönüşüm değişkenini belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=sin⁡(x)u = \sin(x) ise du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx olur.
İntegral içindeki dxdx terimini yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu cinsinden güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡(0)=0x = 0 \implies u = \sin(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/2  ⟹  u=sin⁡(π/2)=1x = \pi/2 \implies u = \sin(\pi/2) = 1 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Bulunan diferansiyel ve sınır değerlerini orijinal integralde yerine yazınız.
∫0π/2f(sin⁡(x))⋅cos⁡(x) dx=∫01f(u) du\int_{0}^{\pi/2} f(\sin(x)) \cdot \cos(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \, du elde edilir.
Tüm bileşenler yeni değişken uu cinsinden ifade edilerek dönüşüm tamamlanır.

Key Concept

Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak belirli integralin sınırlarının ve diferansiyelinin güncellenmesi.
Question 17Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫14f(x) dx=18\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18
∫15f(x) dx=24\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 24
∫810f(x) dx=10\int_{8}^{10} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫810f(x2) dx+∫45f(9−x) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{4}^{5} f(9-x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

18
Doğru seçenekte, her iki integralde de değişken değiştirme kuralları eksiksiz uygulanmıştır. İlk integralde u=x/2u = x/2 dönüşümüyle sınırlar [4, 5] aralığına güncellenmiş ve diferansiyelden gelen 2 çarpanı ile integral değeri 12 bulunmuştur. İkinci integralde v=9−xv = 9-x dönüşümüyle sınırlar [5, 4] olmuş, diferansiyeldeki eksi işareti sınırların sırasını düzelterek [4, 5] aralığında integral değeri olan 6'yı vermiştir. İki değerin toplamından 18 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İntegral sınırlarını ilişkilendirmek için öncelikle verilen ilk iki integrali kullanarak [4, 5] aralığındaki integral değerini bulalım.
∫45f(x) dx=∫15f(x) dx−∫14f(x) dx=24−18=6\int_{4}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 24 - 18 = 6
Belirli integralin aralık ekleme özelliği kullanılarak [4, 5] aralığı elde edilmiştir.
2
Sorulan ifadedeki birinci integral olan ∫810f(x2) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx ifadesinde u=x2u = \frac{x}{2} değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=12dx  ⟹  dx=2 dudu = \frac{1}{2} dx \implies dx = 2 \, du
Sınırlar:
x=8  ⟹  u=4x = 8 \implies u = 4
x=10  ⟹  u=5x = 10 \implies u = 5
Yeni integral:
2∫45f(u) du=2⋅6=122 \int_{4}^{5} f(u) \, du = 2 \cdot 6 = 12
Değişken değiştirme yöntemi uygulanarak integral bilinen [4, 5] aralığına taşınmış ve diferansiyel ile sınırlar güncellenmiştir.
3
Sorulan ifadedeki ikinci integral olan ∫45f(9−x) dx\int_{4}^{5} f(9-x) \, dx ifadesinde v=9−xv = 9-x değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=−dx  ⟹  dx=−dvdv = -dx \implies dx = -dv
Sınırlar:
x=4  ⟹  v=5x = 4 \implies v = 5
x=5  ⟹  v=4x = 5 \implies v = 4
Yeni integral:
∫54f(v) (−dv)=∫45f(v) dv=6\int_{5}^{4} f(v) \, (-dv) = \int_{4}^{5} f(v) \, dv = 6
Eksi işareti integral sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltir ve yine bilinen [4, 5] aralığındaki integral elde edilir.
4
Bulunan iki integral değerini toplayalım.
12+6=1812 + 6 = 18
İki integralin değerlerinin toplamı sorulan ifadenin nihai sonucunu verir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyelin doğru şekilde güncellenmesi.

Alternative Method

Alternatif olarak, integral aralıklarını ve dönüşümleri grafiksel veya alan kaydırma (öteleme/genişletme) mantığıyla da düşünebilirsiniz. Örneğin f(9−x)f(9-x) ifadesi f(x)f(x) fonksiyonunun x=4.5x = 4.5 doğrusuna göre simetriğidir, dolayısıyla [4, 5] aralığındaki integral değeri f(x)f(x)'in [4, 5] aralığındaki integral değerine eşittir.
Estimated Time:2m 30s
Question 18Question →

Diferansiyellenebilir bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu için f(1)=0f(1) = 0 ve f(2)=3f(2) = \sqrt{3} eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,
∫ee2f(ln⁡x)⋅f′(ln⁡x)x1+f2(ln⁡x) dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) \cdot f'(\ln x)}{x \sqrt{1 + f^2(\ln x)}} \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

İntegralin değeri 1'dir.
İntegral sırasıyla u=ln⁡xu = \ln x ve t=1+f2(u)t = 1 + f^2(u) değişken değiştirmeleriyle çözülür. İlk adımda sınırlar [1,2][1, 2] aralığına, ikinci adımda ise [1,4][1, 4] aralığına güncellenir. Diferansiyel geçişinde oluşan yarım katsayısı ile integralin integrali olan 2t2\sqrt{t} terimi çarpıldığında t\sqrt{t} elde edilir. Sınırlar yerine yazıldığında doğru sonuç 1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk değişken değiştirmeyi uygulayalım.
u=ln⁡xu = \ln x dönüşümü yapılırsa du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx olur.
İntegral içindeki ln⁡x\ln x ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyel terimini elde etmek için.
2
��lk dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için x=e  ⟹  u=ln⁡(e)=1x = e \implies u = \ln(e) = 1 ve üst sınır için x=e2  ⟹  u=ln⁡(e2)=2x = e^2 \implies u = \ln(e^2) = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İntegrali yeni değişken cinsinden yeniden yazalım.
İntegralimiz ∫12f(u)⋅f′(u)1+f2(u) du\int_{1}^{2} \frac{f(u) \cdot f'(u)}{\sqrt{1 + f^2(u)}} \, du şekline dönüşür.
Elde edilen tüm terimleri yerine koymak için.
4
İkinci değişken değiştirmeyi uygulayalım.
t=1+f2(u)t = 1 + f^2(u) dönüşümü yapılırsa, diferansiyel dt=2f(u)f′(u)du  ⟹  f(u)f′(u)du=12dtdt = 2f(u)f'(u)du \implies f(u)f'(u)du = \frac{1}{2} dt olur.
Kareköklü ifadeyi ve pay kısmını sadeleştirmek için.
5
İkinci dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için u=1  ⟹  t=1+f2(1)=1+02=1u = 1 \implies t = 1 + f^2(1) = 1 + 0^2 = 1 ve üst sınır için u=2  ⟹  t=1+f2(2)=1+(3)2=4u = 2 \implies t = 1 + f^2(2) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 4 olur.
Yeni değişken tt için sınırları belirlemek amacıyla.
6
İntegrali tt değişkenine göre hesaplayalım.
∫1412dtt=12∫14t−1/2dt=12[2t]14=[t]14=4−1=2−1=1\int_{1}^{4} \frac{\frac{1}{2} dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \left[ \sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1 bulunur.
Belirli integralin değerini nihai olarak hesaplamak için.

Key Concept

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının her adımda doğru şekilde güncellenmesi.
Estimated Time:3m 0s
Question 19Question →
∫13f(2x−1) dx\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx belirli integraline u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında elde edilen yeni integral ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 12∫15f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du

Answer

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni integral ifadesi ön katsayıs�� yarım olan ve 1 ile 5 sınırları arasında yer alan integraldir.
Verilen integralde u = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında, diferansiyel hesabı dx = du/2 sonucunu verir. İntegralin alt sınırı olan x = 1 değeri için u = 1, üst sınırı olan x = 3 değeri için u = 5 elde edilir. Bu değerler integralde yerine yazılıp 1/2 katsayısı integralin dışına alındığında, aranan yeni ifadeye ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Dönüşüm ifadesinin diferansiyeli alınır.
u=2x−1⇒du=2 dxu = 2x - 1 \Rightarrow du = 2 \, dx elde edilir. Buradan dx=du2dx = \frac{du}{2} bulunur.
İntegral içerisindeki dx ifadesini yeni değişken u cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integral sınırları güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=2(1)−1=1x = 1 \Rightarrow u = 2(1) - 1 = 1 olur. Üst sınır için x=3⇒u=2(3)−1=5x = 3 \Rightarrow u = 2(3) - 1 = 5 olur.
Değişken değiştiği için entegrasyon sınırlarının da yeni u değişkenine göre ayarlanması gerekir.
3
Elde edilen veriler orijinal integralde yerine yazılır.
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)⋅du2=12∫15f(u) du\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du elde edilir.
Tüm bileşenler yeni değişken u cinsine çevrilerek dönüşüm işlemi tamamlanır.

Key Concept

Değişken Değiştirme Yöntemi
Estimated Time:1m 0s
Question 20Question →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
A=∫12x3f(x2+1) dxA = \int_{1}^{\sqrt{2}} x^3 f(x^2 + 1) \, dx
eşitliği veriliyor.

Buna göre, AA ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: \int_{2}^{3} \frac{x - 1}{2} f(x) \, dx

Answer

∫23x−12f(x) dx\int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx ifadesidir.
Doğru seçenekte, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümüyle x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} ve x2=u−1x^2 = u - 1 eşitlikleri kullanılmış, integral sınırları da alt sınır 22 ve üst sınır 33 olacak şekilde güncellenerek ∫23x−12f(x) dx\int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx ifadesine ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır ve u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü seçilir.
du=2x dxdu = 2x \, dx diferansiyeli elde edilir ve buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} bulunur.
İntegral içindeki x3x^3 ifadesi, diferansiyel çarpanını elde etmek amacıyla x2⋅xx^2 \cdot x olarak parçalanır.
2
x2x^2 terimi uu cinsinden yazılır.
u=x2+1u = x^2 + 1 eşitliğinden x2=u−1x^2 = u - 1 elde edilir.
İntegral içindeki tüm değişkenlerin yeni değişken olan uu türünden ifade edilmesi zorunludur.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=(2)2+1=3x = \sqrt{2} \implies u = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Bulunan tüm ifadeler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak integral sadeleştirilir.
A=∫23(u−1)f(u)du2=∫23u−12f(u) duA = \int_{2}^{3} (u - 1) f(u) \frac{du}{2} = \int_{2}^{3} \frac{u - 1}{2} f(u) \, du elde edilir. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmediğinden uu yerine xx yazılarak A=∫23x−12f(x) dxA = \int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx bulunur.
Değişken değiştirme tamamlanarak integralin eşiti olan ifade belirlenmiş olur.

Key Concept

Değişken Değiştirme Yöntemi
Page 1 / 4Next