Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Türev Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları, x≠−1x \neq -1 olmak üzere,
f(x)=(x2+2)⋅g(x)f(x) = (x^2 + 2) \cdot g(x)
g(x)=x2⋅f(x)−8x+1g(x) = \frac{x^2 \cdot f(x) - 8}{x + 1}
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Answer: -152

Answer

f'(1) değeri -152 olarak bulunur.
Verilen iki fonksiyonel denklemde x = 1 yazarak f(1) ve g(1) değerleri bulunur. Ardından her iki denklemin türevi alınarak x = 1 için türev değerleri arasında bir sistem kurulur. Bu sistemi çözdüğümüzde aranan türev değeri -152 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
x = 1 için f(1) ve g(1) değerlerini hesaplama
f(1) = 24 ve g(1) = 8
Verilen eşitliklerde x yerine 1 yazıldığında f(1) = 3g(1) ve g(1) = (f(1) - 8)/2 denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden g(1) = 8 ve f(1) = 24 bulunur.
2
f(x) fonksiyonunun t��revini alıp x = 1 yazma
f'(1) = 16 + 3g'(1)
f(x) = (x^2 + 2) * g(x) ifadesine çarpım kuralı uygulanır: f'(x) = 2x * g(x) + (x^2 + 2) * g'(x). x = 1 yazılıp g(1) = 8 değeri yerine konduğunda f'(1) = 16 + 3g'(1) ilişkisine ulaşılır.
3
g(x) fonksiyonunun türevini alıp x = 1 yazma
g'(1) = 20 + f'(1)/2
g(x) = (x^2 * f(x) - 8) / (x + 1) ifadesine bölüm ve çarpım kuralları uygulanır: g'(x) = [(2x * f(x) + x^2 * f'(x)) * (x + 1) - (x^2 * f(x) - 8)] / (x + 1)^2. x = 1 ve f(1) = 24 yazıldığında g'(1) = [(48 + f'(1)) * 2 - 16] / 4 = 20 + f'(1)/2 ilişkisi bulunur.
4
Oluşan denklem sistemini çözme
f'(1) = -152
f'(1) = 16 + 3 * g'(1) denkleminde g'(1) yerine (20 + f'(1)/2) yazılarak f'(1) = 76 + 1.5 * f'(1) elde edilir. Buradan f'(1) = -152 bulunur.

Key Concept

Çarpım ve bölüm türev kurallarının fonksiyonel denklem sistemlerinde uygulanması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Temel Türev Alma Kuralları

More questions from this topic