Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3x2−6x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 5 eğrisine çizilen ve y=3x+1y = 3x + 1 doğrusuna paralel olan teğet doğrularının yy-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Answer: 32 birim

Answer

Teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 32 birimdir.
Teğet doğrularının eğimi, paralel oldukları y = 3x + 1 doğrusunun eğimi olan 3'tür. f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 3 denklemi çözüldüğünde teğet noktalarının apsisleri x = 3 ve x = -1 bulunur. Bu noktalardaki ordinatlar f(3) = -13 ve f(-1) = 7 olur. Bu noktalardan çizilen y = 3x + n formundaki teğetlerin y-kesenleri sırasıyla n = -22 ve n = 10 olarak bulunur. Bu iki y-keseni arasındaki uzaklık |10 - (-22)| = 32 birimdir.

Step-by-Step Solution

1
Paralel doğrunun eğimini belirleme
Teğet doğrularının eğimi m = 3'tür.
Teğet doğruları y = 3x + 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimleri bu doğrunun eğimine eşittir.
2
Teğet noktalarının apsislerini bulma
Apsisler x = 3 ve x = -1 olarak bulunur.
Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. f'(x) = 3 denklemi çözülür.
3
Teğet noktalarının ordinatlarını hesaplama
Noktalar (3, -13) ve (-1, 7) olarak elde edilir.
Apsis değerleri f(x) fonksiyonunda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
4
Teğet doğrularının y-kesenlerini bulma
y-kesenleri -22 ve 10 olarak bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemleri yazılır ve x = 0 için y değerleri belirlenir.
5
y-kesenleri arasındaki uzaklığı hesaplama
Uzaklık 32 birimdir.
İki y-keseni arasındaki mutlak fark hesaplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic