Examkin

Question

Difficulty: HardAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir. Her nn pozitif tam sayısı için,

S3n−S2n=5n2+2nS_{3n} - S_{2n} = 5n^2 + 2n

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

∑k=110a2k\sum_{k=1}^{10} a_{2k}

toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    120
  2. B
    130
  3. 230Answer
  4. D
    240
  5. E
    520

Answer

Dizinin genel teriminin belirlenmesi ve çift indisli terimlerin toplamının 230 olarak bulunması
Verilen S3n−S2nS_{3n} - S_{2n} ifadesi, aritmetik dizi ilk n terim toplamı formülüne göre açılıp düzenlendiğinde n2n^2 ve nn terimlerinin katsayıları polinom eşitliğiyle eşleştirilir. Buradan dizinin ortak farkı d=2d = 2 ve ilk terimi a1=3a_1 = 3 olarak belirlenir. Bu değerlerle dizinin genel terimi an=2n+1a_n = 2n + 1 ve dolayısıyla çift indisli terimler a2k=4k+1a_{2k} = 4k + 1 şeklinde elde edilir. k=1k = 1'den 1010'a kadar olan a2ka_{2k} terimlerinin toplamı hesaplandığında sonuç 230 olur.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin ilk kk teriminin toplam formülü olan Sk=k2[2a1+(k−1)d]S_k = \frac{k}{2}[2a_1 + (k-1)d] ifadesi kullanılarak S3nS_{3n} ve S2nS_{2n} toplamları yazılır.
S3n=3n2[2a1+(3n−1)d]=3na1+9n2d−3nd2S_{3n} = \frac{3n}{2}[2a_1 + (3n-1)d] = 3n a_1 + \frac{9n^2d - 3nd}{2} ve S2n=2n2[2a1+(2n−1)d]=2na1+4n2d−2nd2S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a_1 + (2n-1)d] = 2n a_1 + \frac{4n^2d - 2nd}{2} elde edilir.
Verilen eşitliği kullanarak dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) arasındaki ilişkileri belirlemek.
2
S3n−S2nS_{3n} - S_{2n} farkı hesaplanır ve verilen 5n2+2n5n^2 + 2n ifadesine eşitlenir.
S3n−S2n=na1+5n2d−nd2=(5d2)n2+(a1−d2)n=5n2+2nS_{3n} - S_{2n} = n a_1 + \frac{5n^2d - nd}{2} = \left(\frac{5d}{2}\right)n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n = 5n^2 + 2n elde edilir.
Polinomların eşitliği ilkesini kullanarak katsayıları karşılaştırmak.
3
Katsayılar eşitlenerek ortak fark (dd) ve ilk terim (a1a_1) bulunur.
5d2=5  ⟹  d=2\frac{5d}{2} = 5 \implies d = 2 ve a1−d2=2  ⟹  a1−1=2  ⟹  a1=3a_1 - \frac{d}{2} = 2 \implies a_1 - 1 = 2 \implies a_1 = 3 bulunur.
Dizinin genel terimini oluşturmak için gerekli parametreleri elde etmek.
4
Dizinin genel terimi ana_n bulunur ve a2ka_{2k} ifadesi elde edilir.
an=a1+(n−1)d=3+(n−1)2=2n+1a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1 ve buradan a2k=2(2k)+1=4k+1a_{2k} = 2(2k) + 1 = 4k + 1 bulunur.
İstenen toplam sembolündeki terimleri tanımlamak.
5
∑k=110a2k\sum_{k=1}^{10} a_{2k} toplamının değeri hesaplanır.
∑k=110(4k+1)=4(10×112)+10=220+10=230\sum_{k=1}^{10} (4k + 1) = 4 \left(\frac{10 \times 11}{2}\right) + 10 = 220 + 10 = 230 olarak bulunur.
İstenen toplamın sonucuna ulaşmak.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplam formülü ve genel terim özellikleri
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic