\cos\left(2\arctan(2) - \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) ifadesinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\cos\left(2\arctan(2) - \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Verilen ters trigonometrik ifadeler açılara dönüştürüldüğünde soru

\cos(2\alpha - \beta)

değerini bulmaya indirgenir. Dik üçgenlerden elde edilen oranlar ve yarım açı formülleriyle

\cos(2\alpha) = -\frac{3}{5}

\sin(2\alpha) = \frac{4}{5}

bulunur. Bu değerler fark formülünde yerine konulduğunda terimler birbirini yok eder ve sonuç 0 olur.

\arctan(2) = \alpha

\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \beta

dönüşümleri yapılır.

\tan(\alpha) = 2

\sin(\beta) = \frac{3}{5}

elde edilir. Buradan dik üçgenler yardımıyla diğer oranlar belirlenir:

\sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}}

\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}

\cos(\beta) = \frac{4}{5}

olur.

Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmek için açı dönüşümü uygulanır.

\cos(2\alpha)

\sin(2\alpha)

değerleri yarım açı formülleriyle hesaplanır.

\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 2\left(\frac{1}{5}\right) - 1 = -\frac{3}{5}

\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{4}{5}

bulunur.

İstenen

\cos(2\alpha - \beta)

ifadesini açmak için yarım açı değerlerine ihtiyaç vardır.

\cos(2\alpha - \beta) = \cos(2\alpha)\cos(\beta) + \sin(2\alpha)\sin(\beta)

fark formülü uygulanır.

\cos(2\alpha - \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0

bulunur.

Fark formülü kullanılarak ifadenin sayısal değeri hesaplanır.

Ters trigonometrik fonksiyonları açılara dönüştürme ve yarım açı ile fark formüllerini uygulama

Estimated Time:2m 0s

Question