Examkin

Question

Difficulty: HardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−ax2+4xf(x) = x^3 - ax^2 + 4x
eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile
g(x)=x2−bx+cg(x) = x^2 - bx + c
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Answer: 17

Answer

a + b + c toplamının değeri 17'dir.
Verilen f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusu ile g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun çakışık (aynı doğru) olması, bu iki doğrunun eğimlerinin eşit olmasını ve her iki noktanın da bu doğru üzerinde bulunmasını gerektirir. Buradan elde edilen denklemler çözüldüğünde a = 3, b = 5 ve c = 9 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin toplamı ise 17'dir.

Step-by-Step Solution

1
f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğimini ve denklemini a cinsinden bulma.
f'(1) = 7 - 2a (eğim) ve teğet noktası P(1, 5-a). Teğet doğrusu: y - (5-a) = (7-2a)(x-1)
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimini b cinsinden ve normal noktasını b ile c cinsinden bulma.
g'(2) = 4 - b (teğet eğimi), normal doğrusunun eğimi m_N = -1/(4-b) ve normal noktası Q(2, 4-2b+c).
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Doğruların çakışık olması şartını kullanarak a, b ve c bilinmeyenlerini çözme.
Eğimlerin eşitliğinden 7 - 2a = -1/(4-b) elde edilir. Ortak eğimin 1 olması durumunda a = 3, b = 5 bulunur. Ortak doğru denklemi y = x + 1 olur. Q(2, g(2)) noktası bu doğru üzerinde olduğundan g(2) = 3 olmalıdır. Buradan c = 9 bulunur.
Çakışık doğruların eğimleri ve geçtikleri noktalar aynı olmalıdır.
4
a, b ve c değerlerinin toplamını hesaplama.
a + b + c = 3 + 5 + 9 = 17
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının denklemleri ile bu doğruların eğimleri arasındaki ilişki (m_teget * m_normal = -1).
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic