Examkin

Question

Difficulty: HardKombinasyon

Bir okulun düzenleyeceği bilim şenliğine katılmak üzere 4 öğretmen ve 6 öğrenciden oluşan bir gruptan 4 kişilik bir proje ekibi seçilecektir.

Seçilecek ekipte en az 1 ��ğretmen ve en az 1 öğrenci bulunması zorunludur. Ancak, öğretmenlerden Ahmet Bey ve öğrencilerden Burak arasında bir anlaşmazlık olduğu için ikisi aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    101
  2. B
    138
  3. 166Answer
  4. D
    182
  5. E
    194

Answer

Proje ekibi 166 farklı şekilde oluşturulabilir.
Ekipte en az bir öğretmen ve bir öğrenci bulunma kuralına göre oluşturulabilecek tüm ekiplerin sayısı 80+90+24=19480 + 90 + 24 = 194 olarak bulunur. Ahmet Bey ve Burak'ın birlikte bulunduğu ve bu kuralı sağlayan ekiplerin sayısı ise kalan 8 kişiden 2 kişinin seçilmesiyle (82)=28\binom{8}{2} = 28 olarak hesaplanır. İstenmeyen durumlar tüm durumlardan çıkarıldığında geriye 166 farklı şekilde ekip oluşturulabileceği görülür.

Step-by-Step Solution

1
En az 1 öğretmen ve en az 1 öğrenci bulunması koşuluna uygun tüm 4 kişilik ekiplerin sayısını hesaplayalım.
Toplam durum sayısı 194'tür.
4 öğretmen ve 6 öğrenci arasından seçilecek 4 kişilik ekipte öğretmen sayısı tt ve öğrenci sayısı o¨ö olmak üzere (t≥1t \ge 1 ve o¨≥1ö \ge 1):
- 1 öğretmen, 3 öğrenci: (41)×(63)=4×20=80\binom{4}{1} \times \binom{6}{3} = 4 \times 20 = 80
- 2 öğretmen, 2 öğrenci: (42)×(62)=6×15=90\binom{4}{2} \times \binom{6}{2} = 6 \times 15 = 90
- 3 öğretmen, 1 öğrenci: (43)×(61)=4×6=24\binom{4}{3} \times \binom{6}{1} = 4 \times 6 = 24
Toplam: 80+90+24=19480 + 90 + 24 = 194 durum bulunur.
2
Ahmet Bey ve Burak'ın aynı ekipte birlikte yer aldığı ve aynı zamanda 'en az 1 öğretmen ve 1 öğrenci' koşuluna uyan durumların sayısını hesaplayalım.
Birlikte bulundukları durum sayısı 28'dir.
Ahmet Bey (öğretmen) ve Burak (öğrenci) ekibe dahil edildiğinde, ekipte en az 1 öğretmen ve 1 öğrenci bulunma koşulu kendiliğinden sağlanır. Kalan 2 kişilik yer için geriye kalan 3 öğretmen ve 5 öğrenci (toplam 8 kişi) arasından seçim yapılmalıdır: (82)=28\binom{8}{2} = 28 durum.
3
Toplam geçerli durum sayısından istenmeyen durum sayısını çıkartarak sonuca ulaşalım.
İstenen durum sayısı 194−28=166194 - 28 = 166 olur.
Ahmet Bey ve Burak'ın birlikte bulunmadığı, koşula uygun ekiplerin sayısını bulmak için tüm durumlardan ikisinin bir arada olduğu durumları çıkarmamız gerekir.

Key Concept

Kısıtlar altında kombinasyon (seçme) hesaplamaları
Rate this question

Topics

Kombinasyon

More questions from this topic