Examkin

Question

Difficulty: HardLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x2−3x−3(16−x2)f(x) = \log_{x^2 - 3x - 3}(16 - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geni�� tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: -5

Answer

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -5'tir.
Logaritmanın tanım kuralları uygulandığında 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliğinden x∈(−4,4)x \in (-4, 4) bulunur. Taban koşullarından x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0 eşitsizliği ve x2−3x−3≠1x^2 - 3x - 3 \neq 1 şartı birlikte değerlendirildiğinde bu aralıkta sağlayan tam sayılar yalnızca −3-3 ve −2-2 olup, toplamları −5-5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Argümanın pozitif olması koşulunu (16−x2>016 - x^2 > 0) çözmek.
x∈(−4,4)x \in (-4, 4) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} kümesidir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın pozitif olması koşulunu (x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0) incelemek.
İlk adımdaki tam sayılardan bu koşulu sağlayanlar {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} olarak bulunur. x∈{0,1,2,3}x \in \{0, 1, 2, 3\} için taban negatif olur.
Logaritmanın tabanı daima pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.
3
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu (x2−3x−3≠1x^2 - 3x - 3 \neq 1) incelemek.
x2−3x−4≠0  ⟹  (x−4)(x+1)≠0  ⟹  x≠4x^2 - 3x - 4 \neq 0 \implies (x-4)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 4 ve x≠−1x \neq -1 elde edilir. Bu durumda {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} kümesinden x=−1x = -1 değeri elenerek {−3,−2}\{-3, -2\} bulunur.
Logaritmanın tabanı 1'e eşit olamaz.
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplamak.
(−3)+(−2)=−5(-3) + (-2) = -5
Soruda tanım kümesindeki tam sayıların toplamı istenmiştir.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif, tabanın pozitif ve tabanın 1'den farklı olması gerekir.

Alternative Method

Eşitsizliklerin ortak çözüm kümesini işaret tablosu oluşturarak bulmak: 16−x2>016-x^2 > 0 için kökler −4-4 ve 44, işaret tablosu +−++ - + şeklinde incelenir ve (−4,4)(-4, 4) aralığı bulunur. x2−3x−3>0x^2 - 3x - 3 > 0 için kökler yaklaşık −0.79-0.79 ve 3.793.79'dur. Bu iki aralığın kesişimi (−4,−0.79)∪(3.79,4)(-4, -0.79) \cup (3.79, 4) olur. Bu kümedeki tam sayılar −3-3 ve −2-2 olup toplamları −5-5 yapar.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi