Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusudur. Bu parabolün tepe noktası y=3x−5y = 3x - 5 doğrusu üzerinde olup parabol yy eksenini (0,13)(0, 13) noktasında kesmektedir. Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    34
  3. 8Answer
  4. D
    16
  5. E
    2

Answer

Parabolün x = 1 noktasındaki değeri 8'dir.
Simetri ekseni x=3x = 3 doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi r=3r = 3 olarak belirlenir. Tepe noktası y=3x−5y = 3x - 5 doğrusu üzerinde bulunduğundan ordinat değeri k=3(3)−5=4k = 3(3) - 5 = 4 olarak hesaplanır. Tepe noktası T(3,4)T(3, 4) olan parabolün denklemi f(x)=a(x−3)2+4f(x) = a(x - 3)^2 + 4 biçiminde kurulur. Parabolün (0,13)(0, 13) noktasından geçtiği bilgisi kullanılarak a(0−3)2+4=13  ⟹  9a=9  ⟹  a=1a(0 - 3)^2 + 4 = 13 \implies 9a = 9 \implies a = 1 başkatsayısına ulaşılır. Son olarak f(x)=(x−3)2+4f(x) = (x - 3)^2 + 4 fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında f(1)=8f(1) = 8 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Simetri eksenini belirleme
r=3r = 3
Parabolün simetri ekseni x=rx = r doğrusudur. Soruda simetri ekseni x=3x = 3 olarak verildiğinden tepe noktasının apsisi r=3r = 3 olur.
2
Tepe noktasının ordinatını bulma
k=4k = 4
Tepe noktası T(3,k)T(3, k) noktası y=3x−5y = 3x - 5 doğrusu üzerinde olduğundan doğrunun denklemini sağlar: k=3(3)−5=4k = 3(3) - 5 = 4 bulunur.
3
Tepe noktası formunda parabol denklemini kurma
f(x)=a(x−3)2+4f(x) = a(x - 3)^2 + 4
Tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan parabolün standart denklemi f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x - r)^2 + k şeklindedir.
4
Başkatsayıyı bulma
a=1a = 1
Parabol yy eksenini (0,13)(0, 13) noktasında kestiği için f(0)=13f(0) = 13 olmalıd��r. Buradan a(0−3)2+4=13  ⟹  9a=9  ⟹  a=1a(0 - 3)^2 + 4 = 13 \implies 9a = 9 \implies a = 1 elde edilir.
5
İstenen değeri hesaplama
f(1)=8f(1) = 8
Elde edilen f(x)=(x−3)2+4f(x) = (x - 3)^2 + 4 denkleminde x=1x = 1 yazılarak f(1)=(1−3)2+4=4+4=8f(1) = (1 - 3)^2 + 4 = 4 + 4 = 8 bulunur.

Key Concept

Parabolün tepe noktası ve simetri ekseninin koordinatlar ve parabol denklemi üzerindeki etkisi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic