Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir g fonksiyonu için \begin{aligned} g(2) &= 4 \\ g'(2) &= 2 \end{aligned}\neşitlikleri sağlanmaktadır. f(x) = (ax - 2) \cdot g(x^2 - x) biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi f'(2) = 20 olduğuna göre, a gerçel sayısı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir g fonksiyonu için \begin{alig… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

g

fonksiyonu için

\begin{aligned} g(2) &= 4 \\ g'(2) &= 2 \end{aligned}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(x) = (ax - 2) \cdot g(x^2 - x)

biçiminde tanımlanan

f

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki türevi

f'(2) = 20

olduğuna göre,

a

gerçel sayısı kaçtır?

a gerçel sayısı 2'dir.

Çarpım türevi ve bileşke fonksiyon türev kuralları sırasıyla uygulandığında

f'(2) = 16a - 12

olarak elde edilir. Soruda bu değer 20 olarak verildiğinden

16a - 12 = 20

denklemi kurulur ve buradan a değeri 2 olarak hesaplanır.

f(x)

fonksiyonunun türevini bulmak için çarpım türevi kuralını uygulayalım.

f'(x) = [ax - 2]' \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot [g(x^2 - x)]'

elde edilir. Buradan

f'(x) = a \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot [g(x^2 - x)]'

olur.

Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi, birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birinci kuralı ile bulunur.

g(x^2 - x)

bileşke ifadesinin türevini bulmak için zincir kuralını uygulayalım.

[g(x^2 - x)]' = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)

olur. Bu ifadeyi genel türev formülünde yerine koyduğumuzda

f'(x) = a \cdot g(x^2 - x) + (ax - 2) \cdot g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)

elde edilir.

Bileşke fonksiyon türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

f'(x)

türev fonksiyonunda

x = 2

değerini yerine yazarak verilen eşitlikleri kullanalım.

f'(2) = a \cdot g(2) + (2a - 2) \cdot g'(2) \cdot (2 \cdot 2 - 1)

olur.

g(2) = 4

g'(2) = 2

değerlerini yerine yazarsak:

f'(2) = a \cdot 4 + (2a - 2) \cdot 2 \cdot 3 \implies f'(2) = 4a + 12a - 12 \implies f'(2) = 16a - 12

elde edilir.

x = 2

için hem içteki fonksiyon

x^2 - x = 2

değerini alır hem de iç türev terimi

2x - 1 = 3

olur.

f'(2) = 20

eşitliğinden yararlanarak

a

değerini hesaplayalım.

16a - 12 = 20 \implies 16a = 32 \implies a = 2

bulunur.

Elde edilen türev bağıntısını verilen sayısal türev değerine eşitleyerek bilinmeyen parametreyi çözeriz.

Temel türev alma kuralları çerçevesinde çarpım kuralı ve zincir (bileşke) kuralının birlikte uygulanması.