Examkin

Question

Difficulty: HardTers Trigonometrik Fonksiyonlar
arcsin⁡(sin⁡(4π3))+arccos⁡(cos⁡(−π6))+arctan⁡(tan⁡(7π4))\arcsin\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) + \arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) + \arctan\left(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    −3π4-\frac{3\pi}{4}
  2. B
    π4\frac{\pi}{4}
  3. −5π12-\frac{5\pi}{12}Answer
  4. D
    7π12\frac{7\pi}{12}
  5. E
    19π12\frac{19\pi}{12}

Answer

−5π12-\frac{5\pi}{12}
Doğru cevap, her bir fonksiyonun esas değer aralığındaki karşılıkları doğru hesaplandığında elde edilen değerdir. İlk terim olan arksinüs ifadesinin karşılığı üçüncü bölgedeki sinüsün negatifliği ve fonksiyonun değer aralığı gözetilerek −π3-\frac{\pi}{3} olarak bulunur. İkinci terim olan arkkosinüs ifadesi için kosinüsün çift fonksiyon olması ve arkkosinüsün değer aralığının pozitif olmasından dolayı π6\frac{\pi}{6} elde edilir. Üçüncü terim olan arctanjant ifadesi ise dördüncü bölgedeki negatiflik nedeniyle −π4-\frac{\pi}{4} değerini alır. Bu üç değerin toplamı −5π12-\frac{5\pi}{12} sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci terim olan arcsin⁡(sin⁡(4π3))\arcsin\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
−π3-\frac{\pi}{3}
sin⁡(4π3)=−sin⁡(π3)=−32\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olur. arcsin⁡(y)\arcsin(y) fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığı olduğundan, arcsin⁡(−32)=−π3\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} olarak bulunur.
2
İkinci terim olan arccos⁡(cos⁡(−π6))\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
π6\frac{\pi}{6}
cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} olur. arccos⁡(y)\arccos(y) fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığı olduğundan, arccos⁡(32)=π6\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} olarak bulunur.
3
Üçüncü terim olan arctan⁡(tan⁡(7π4))\arctan\left(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
−π4-\frac{\pi}{4}
tan⁡(7π4)=−tan⁡(π4)=−1\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 olur. arctan⁡(y)\arctan(y) fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) aralığı olduğundan, arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} olarak bulunur.
4
Bulunan değerleri toplayarak sonucu bulunuz.
−5π12-\frac{5\pi}{12}
−π3+π6−π4=−4π+2π−3π12=−5π12-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{-4\pi + 2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Değer Kümesi Sınırları
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic