Examkin

Question

Difficulty: MediumParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan
f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x - r)^2 + k
parabolünün simetri ekseni x=4x = 4 doğrusudur.

Bu parabolün yy eksenini kestiği nokta A(0,6)A(0, 6)'dır. Parabolün üzerinde bulunan bir BB noktasının apsisi 66 olup, AA ve BB noktalarından geçen doğrunun eğimi −1-1'dir.

Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı (kk) kaçtır?

Answer: -2

Answer

Parabolün tepe noktasının ordinatı -2'dir.
Simetri ekseni x=4x = 4 doğrusu olduğundan parabolün tepe noktasının apsisi r=4r = 4'tür ve denklem f(x)=a(x−4)2+kf(x) = a(x - 4)^2 + k şeklinde kurulur. Parabolün üzerindeki A(0,6)A(0, 6) noktası denklemde yerine yazıldığında 16a+k=616a + k = 6 elde edilir. A(0,6)A(0, 6) ve B(6,yB)B(6, y_B) noktalarından geçen doğrunun eğimi −1-1 olduğundan yB=0y_B = 0 bulunur. B(6,0)B(6, 0) noktası da parabolün üzerinde olduğundan denklemde yerine yazıldığında 4a+k=04a + k = 0 bağıntısına ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=1/2a = 1/2 ve tepe noktasının ordinatı olan kk değeri −2-2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Simetri ekseni bilgisini kullanarak parabolün tepe noktası formundaki denklemini yazma
f(x)=a(x−4)2+kf(x) = a(x - 4)^2 + k
Parabolün simetri ekseni x=rx = r doğrusu olduğundan, x=4x = 4 doğrusu parabolün tepe noktasının apsisinin r=4r = 4 olduğunu gösterir.
2
Parabolün yy eksenini kestiği A(0,6)A(0, 6) noktasını denklemde yerine yazarak birinci bağıntıyı elde etme
16a+k=616a + k = 6
A(0,6)A(0, 6) noktası parabolün üzerinde olduğundan parabol denklemini sağlamak zorundadır.
3
Eğim bilgisini kullanarak BB noktasının ordinatını hesaplama
B(6,0)B(6, 0)
A(0,6)A(0, 6) ve B(6,yB)B(6, y_B) noktalarından geçen doğrunun eğimi −1-1 olarak verildiği için eğim formülünden yB=0y_B = 0 bulunur.
4
B(6,0)B(6, 0) noktasını parabol denkleminde yerine yazarak ikinci bağıntıyı elde etme
4a+k=04a + k = 0
B(6,0)B(6, 0) noktası parabol üzerinde olduğundan denklemde x=6x = 6 yazıldığında sonuç 00 olmalıdır.
5
Elde edilen denklem sistemini çözerek kk değerini bulma
a=1/2a = 1/2 ve k=−2k = -2
16a+k=616a + k = 6 ve 4a+k=04a + k = 0 denklemlerinin ortak çözümünden kk parametresi −2-2 olarak elde edilir.

Key Concept

Parabolün simetri ekseni yardımıyla tepe noktası formunda (f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x-r)^2 + k) yazılması ve parabol üzerindeki noktaların denklemde yerine yazılarak bilinmeyen katsayıların bulunması.

Alternative Method

Parabolün simetri ekseni x=4x = 4 olduğundan, x=0x = 0 apsisli A(0,6)A(0, 6) noktasının simetri eksenine göre simetriği olan C(8,6)C(8, 6) noktası da bu parabolün üzerindedir. Parabolün genel denklemi f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c biçiminde düşünülürse, y-keseninden dolayı c=6c = 6 olur. Simetri ekseni r=−b/(2a)=4  ⟹  b=−8ar = -b/(2a) = 4 \implies b = -8a bağıntısı bulunur. Buradan parabol denklemi f(x)=ax2−8ax+6f(x) = ax^2 - 8ax + 6 olur. Eğim bilgisinden yola çıkarak elde edilen B(6,0)B(6, 0) noktası parabol denkleminde yerine yazılırsa: f(6)=36a−48a+6=0  ⟹  −12a=−6  ⟹  a=1/2f(6) = 36a - 48a + 6 = 0 \implies -12a = -6 \implies a = 1/2 elde edilir. a=1/2a = 1/2 ise b=−4b = -4 olur. Tepe noktasının ordinatı olan kk değeri, parabolün tepe noktasındaki değeri olduğundan k=f(4)=(1/2)(16)−4(4)+6=8−16+6=−2k = f(4) = (1/2)(16) - 4(4) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 olarak bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic