Examkin

Question

Difficulty: HardAnlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=cos⁡(π2x)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1 \lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1}
limitinin değeri kaçtır?
  1. A
    −π-\pi
  2. −3π4-\frac{3\pi}{4}Answer
  3. C
    −π2-\frac{\pi}{2}
  4. D
    3π4\frac{3\pi}{4}
  5. E
    −π4-\frac{\pi}{4}

Answer

−3π4-\frac{3\pi}{4}
Doğru olan −3π4-\frac{3\pi}{4} değeri, limit ifadesinin 32f′(1)\frac{3}{2}f'(1) biçiminde sadeleştirilmesi ve f′(1)f'(1) değerinin trigonometrik türev kuralıyla −π2-\frac{\pi}{2} olarak hesaplanıp yerine yazılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Limit ifadesini türevin tanımına benzetmek amacıyla çarpanlarına ayırma işlemi yapalım.
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1=lim⁡x→1[f(x3)−f(1)x3−1⋅x3−1x2−1]\lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x^3) - f(1)}{x^3 - 1} \cdot \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \right]
Türevin limit tanımı olan lim⁡u→1f(u)−f(1)u−1=f′(1)\lim_{u \to 1} \frac{f(u) - f(1)}{u - 1} = f'(1) formunu elde etmek için paydadaki ifadeyi x3−1x^3-1 haline getirecek şekilde çarpan ekleyip çıkarırız.
2
Oluşan ikinci çarpanın limit değerini çarpanlara ayırma yöntemiyle hesaplayalım.
lim⁡x→1x3−1x2−1=lim⁡x→1(x−1)(x2+x+1)(x−1)(x+1)=lim⁡x→1x2+x+1x+1=32\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+1}{x+1} = \frac{3}{2}
Belirsizliği gidermek için pay ve paydayı x−1x-1 ortak çarpanına göre sadeleştirir ve x=1x = 1 değerini yerine yazarız.
3
Türevin limit tanımını kullanarak toplam limiti f′(1)f'(1) cinsinden yazalım.
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1=f′(1)⋅32=32f′(1)\lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1} = f'(1) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}f'(1)
x→1x \to 1 iken x3→1x^3 \to 1 olduğundan, birinci limit ifadesi doğrudan f′(1)f'(1) türev değerini temsil eder.
4
Fonksiyonun türevini alarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f(x)=cos⁡(π2x)  ⟹  f′(x)=−π2sin⁡(π2x)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \implies f'(x) = -\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)
f′(1)=−π2sin⁡(π2)=−π2⋅1=−π2f'(1) = -\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \cdot 1 = -\frac{\pi}{2}
Kosinüs fonksiyonunun türev kuralı ve zincir kuralı (için türevi) uygulanarak fonksiyonun x=1x=1 noktasındaki anlık değişim oranı hesaplanır.
5
Elde edilen değerleri birleştirerek limit sonucunu bulalım.
Limit=32⋅(−π2)=−3π4\text{Limit} = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{3\pi}{4}
İkinci ve dördüncü adımlarda elde ettiğimiz çarpanları birbiriyle çarparak limitin nihai değerine ulaşırız.

Key Concept

Türevin limit tanımı yardımıyla belirsizlik içeren limitlerin türev değerine dönüştürülmesi ve trigonometrik fonksiyonlarda zincir kuralı uygulaması.

Alternative Method

Limit ifadesinde x→1x \to 1 için 0/00/0 belirsizliği bulunduğundan L'Hôpital kuralı uygulanabilir. Payın xx'e göre türevi 3x2⋅f′(x3)3x^2 \cdot f'(x^3), paydanın türevi ise 2x2x olur. Limitte x=1x=1 yazıldığında 3⋅12⋅f′(1)2⋅1=32f′(1)\frac{3 \cdot 1^2 \cdot f'(1)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}f'(1) elde edilir. Ardından fonksiyonun türevi alınarak sonuca gidilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı

More questions from this topic