Examkin

Question

Difficulty: HardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolüne dışındaki bir P(1,−3)P(1, -3) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor. Buna göre, AA ve BB noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

  1. A
    -9
  2. B
    -5
  3. C
    -1
  4. 3Answer
  5. E
    -3

Answer

Değme noktalarından geçen doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.
Teğet değme noktaları olan A(3, 9) ve B(-1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemi y = 2x + 3 olup y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Parabol üzerindeki genel bir teğet noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla ifade etmek.
Teğet noktası T(t,t2)T(t, t^2) olsun. Fonksiyonun türevi f′(x)=2xf'(x) = 2x olduğundan bu noktadaki teğet eğimi m=2tm = 2t olur. Teğet doğrusunun denklemi: y−t2=2t(x−t)⇒y=2tx−t2y - t^2 = 2t(x - t) \Rightarrow y = 2tx - t^2 olarak bulunur.
Türevin geometrik yorumu gereği, teğet doğrusunun eğimi o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğet doğrusunun dışındaki P(1,−3)P(1, -3) noktasından geçtiğini kullanarak teğet noktalarının apsislerini bulmak.
−3=2t(1)−t2⇒t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0-3 = 2t(1) - t^2 \Rightarrow t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0 denkleminden t1=3t_1 = 3 ve t2=−1t_2 = -1 bulunur.
P(1,−3)P(1, -3) noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
3
Teğet değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını hesaplamak.
t1=3t_1 = 3 için A(3,9)A(3, 9) ve t2=−1t_2 = -1 için B(−1,1)B(-1, 1) elde edilir.
Apsis değerleri f(x)=x2f(x) = x^2 kuralında yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
4
A(3,9)A(3, 9) ve B(−1,1)B(-1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulup y-eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplamak.
Doğrunun eğimi mAB=9−13−(−1)=2m_{AB} = \frac{9 - 1}{3 - (-1)} = 2 olup denklemi y−1=2(x+1)⇒y=2x+3y - 1 = 2(x + 1) \Rightarrow y = 2x + 3 olur. x=0x = 0 için ordinat y=3y = 3 olarak bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun denklemi yazıldıktan sonra y-eksenini kestiği noktayı bulmak için apsis sıfır alınır.

Key Concept

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Denklemleri)

Alternative Method

Pratik Yol (Kutup Doğrusu): y = x^2 parabolüne dışındaki bir P(x0, y0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarından geçen doğrunun (kutup doğrusu) denklemi (y + y0) / 2 = x * x0 formülü ile bulunur. P(1, -3) noktası için bu denklem (y - 3) / 2 = x * 1 => y = 2x + 3 olur. Bu doğrunun y-keseni x = 0 için y = 3 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic