Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k parabolünün x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusu, g(x)=axg(x) = \frac{a}{x} eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile dik kesişmektedir.

Buna göre, aa kaçtır?

  1. A
    -8
  2. -2Answer
  3. C
    -4
  4. D
    2
  5. E
    8

Answer

a = -2
Verilen fonksiyonların türevleri alınarak teğet eğimleri sırasıyla -2 ve -a/4 olarak hesaplanır. Teğet doğruları dik kesiştiği için eğimler çarpımı -1 olmalıdır. Bu ilişkiden (-2) * (-a/4) = -1 denklemi kurularak a = -2 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınır ve x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi (m1m_1) hesaplanır.
f′(x)=2x−4  ⟹  m1=f′(1)=2(1)−4=−2f'(x) = 2x - 4 \implies m_1 = f'(1) = 2(1) - 4 = -2
Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi alınır ve x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi (m2m_2) hesaplanır.
g′(x)=−ax2  ⟹  m2=g′(2)=−a22=−a4g'(x) = -\frac{a}{x^2} \implies m_2 = g'(2) = -\frac{a}{2^2} = -\frac{a}{4}
Teğet eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alıp teğet noktasının apsisini yerine yazarız.
3
Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımının −1-1 olması kuralı uygulanarak aa değeri çözülür.
m1×m2=−1  ⟹  (−2)×(−a4)=−1  ⟹  a2=−1  ⟹  a=−2m_1 \times m_2 = -1 \implies (-2) \times \left(-\frac{a}{4}\right) = -1 \implies \frac{a}{2} = -1 \implies a = -2
Dik koordinat düzleminde birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğim ilişkisi
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic