\frac{(x + 3)^2 (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 4} \leq 0 \frac{x^2 - x - 6}{(x - 1)^2} \leq 0 yukar… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{(x + 3)^2 (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 4} \leq 0

\frac{x^2 - x - 6}{(x - 1)^2} \leq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 2

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 2'dir.

Eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizlik ayrı ayrı çözülüp kesiştirildiğinde, paydayı sıfır yapan ve sadeleşen köklerin (

x = 2

x = -2

x = 1

) elenmesi ve çift katlı köklerin (

x = -3

) her iki eşitsizliği de sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir. Bu işlemler yapıldığında ortak sağlayan tam sayıların yalnızca

-1, 0, 3

olduğu görülür ve bu sayıların toplamı 2'dir.

Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma

S_1 = (-2, 2) \cup (2, 3] \cup \{-3\}

\frac{(x+3)^2(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} \leq 0

ifadesinde

x-2

terimleri sadeleştiğinde

x \neq 2

koşulu eklenir. Paydanın kökü

x = -2

ve payın kökleri

x = -3

(çift katlı) ile

x = 3

(tek katlı) kullanılarak işaret tablosu oluşturulur.

İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma

S_2 = [-2, 3] \setminus \{1\}

\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)^2} \leq 0

eşitsizliğinde payın kökleri

x = 3

x = -2

(tek katlı), paydanın kökü ise

x = 1

(çift katlı) olup paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesinden atılır.

Çözüm kümelerini kesiştirerek ortak kökleri bulma

x \in \{-1, 0, 3\}

Her iki eşitsizliği de sağlayan ortak tam sayılar belirlenir.

x = -3

ikinci eşitsizliği,

x = -2

x = 2

birinci eşitsizliği tanımsız yaptığı için ortak çözüm kümesine dahil edilmez.

x = 1

ise ikinci eşitsizlikte paydayı sıfır yaptığı için dahil edilmez.

Ortak tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama

Bulunan

x = -1

x = 0

x = 3

tam say��larının toplamı

(-1) + 0 + 3 = 2

olarak elde edilir.

İkinci dereceden rasyonel eşitsizlik sistemlerinde sadeleştirme hatası yapmamak, payda köklerini ve çift katlı kökleri doğru değerlendirmek.

Question