Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−2(64−x2x+1)f(x) = \log_{x - 2}\left(\frac{64 - x^2}{x + 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: 22

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 22'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken tabanının pozitif ve 1'den farklı olması, argümanının ise pozitif olması koşulları birlikte sağlanmalıdır. Bu koşulların kesişimi (2,8)∖{3}(2, 8) \setminus \{3\} aralığını verir ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 22'dir.

Step-by-Step Solution

1
Logaritmanın tabanının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
x>2x > 2 ve x≠3x \neq 3
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Logaritmanın argümanının (içinin) pozitif olma koşulunu belirlemek.
64−x2x+1>0\frac{64 - x^2}{x + 1} > 0
Logaritmanın tanımlı olması için argümanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Eşitsizliğin köklerini bulup işaret incelemesi yapmak.
Kökler x=−8x = -8, x=−1x = -1 ve x=8x = 8'dir. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−8)∪(−1,8)(-\infty, -8) \cup (-1, 8) olur.
Rasyonel ifadenin pay ve paydasının kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Taban ve argüman koşullarının kesişim kümesini bulmak.
x∈(2,8)∖{3}x \in (2, 8) \setminus \{3\}
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerlerden oluşur.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplamak.
Tam sayılar {4,5,6,7}\{4, 5, 6, 7\} ve toplamları 4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22'dir.
Elde edilen aralıktaki tam sayılar belirlenir ve bunların toplamı hesaplanır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi