Examkin

Question

Difficulty: Very hardYönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri

Analitik düzlemde verilen birim çember üzerinde başlangıç noktaları sırasıyla P0(1,0)P_0(1, 0) ve Q0(0,1)Q_0(0, 1) olan iki hareketli bulunmaktadır. Pozitif yönlü hareket eden PP hareketlisi, saniyede 13π30\frac{13\pi}{30} radyanlık sabit açısal hızla; negatif yönlü hareket eden QQ hareketlisi ise saniyede 54∘54^\circ lik sabit açısal hızla dönmektedir. Bu iki hareketli aynı anda harekete başladıktan 35 saniye sonra durmaktadır. Buna göre, hareketlilerin durdukları andaki konumlarıyla ilgili;

I. PP noktasının konumuna karşılık gelen açının esas ölçüsü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır.
II. QQ noktasının konumu koordinat düzleminin IV. bölgesindedir.
III. PP ve QQ noktaları arasındaki en kısa çember yayı uzunluğunun ölçüsü 150∘150^\circ dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

Birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.
Pozitif yönlü hareket eden birinci noktanın taradığı açının esas ölçüsü yedi pi bölü altı radyan olarak doğru bulunmuştur. Negatif yönlü hareket eden ikinci noktanın ulaştığı son nokta olan bir sıfır noktası koordinat ekseni üzerinde olduğundan dördüncü bölgede yer almaz. İki nokta arasındaki en kısa çember yayı uzunluğu ise yüz elli derecedir. Bu nedenle birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
PP hareketlisinin 35 saniyede taradığı toplam açıyı radyan cinsinden bulalım.
θP=35×13π30=7×13π6=91π6\theta_P = 35 \times \frac{13\pi}{30} = \frac{7 \times 13\pi}{6} = \frac{91\pi}{6} radyan.
Geçen süre ile saniyedeki açısal hızı çarparak toplam dönme miktarını elde etmek için.
2
PP noktasının son konumunun esas ölçüsünü hesaplayalım.
91π6\frac{91\pi}{6} ifadesinde payı (9191), paydanın iki katı olan 1212'ye böleriz. Kalan 77 olduğundan, esas ölçü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.
Açının içindeki 2π2\pi tam turlarını çıkararak esas yönlü açıyı belirlemek için.
3
QQ hareketlisinin 35 saniyede taradığı toplam açıyı ve ulaştığı konumu derece cinsinden bulalım.
QQ hareketlisi negatif yönde (saat yönünde) hareket ettiğinden, taradığı açı −35×54∘=−1890∘-35 \times 54^\circ = -1890^\circ olur. Başlangıç noktası Q0(0,1)Q_0(0,1) noktası standart pozisyonda 90∘90^\circ'ye karşılık geldiğinden, son konumu 90∘−1890∘=−1800∘90^\circ - 1890^\circ = -1800^\circ olur.
Başlangıç açısına negatif yöndeki tarama miktarını ekleyerek yönlü açının son değerini bulmak için.
4
QQ noktasının son konumunun esas ölçüsünü bulalım ve koordinat bölgesini inceleyelim.
−1800∘-1800^\circ açısına 360∘360^\circ'nin katı olan 1800∘1800^\circ eklenirse esas ölçü 0∘0^\circ bulunur. Bu konum (1,0)(1,0) noktası olup, eksen üzerindedir ve herhangi bir bölgeye ait değildir. Dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
Eksen üzerindeki sınır noktalarının koordinat bölgelerine (bölge I, II, III veya IV) dahil edilmeyeceğini görmek için.
5
PP ve QQ noktaları arasındaki en kısa çember yayı uzunluğunu hesaplayalım.
PP noktası 210∘210^\circ (7π6\frac{7\pi}{6} radyan) konumunda, QQ noktası ise 0∘0^\circ konumundadır. İki nokta arasındaki açısal fark 210∘−0∘=210∘210^\circ - 0^\circ = 210^\circ dir. En kısa yay ise saat yönünde ölçülen 360∘−210∘=150∘360^\circ - 210^\circ = 150^\circ lik yaydır. Dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.
Çember üzerindeki iki nokta arasındaki mesafenin her zaman en kısa yolla ölçüleceğini göz önüne almak için.

Key Concept

Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri
Rate this question

Topics

Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri

More questions from this topic